Binomialkoeffizient: (n+1 tief 2) auflösen

Question

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} n+1\\2 \end{pmatrix}^2 \) auflösen.

Problem/Ansatz:

Ich bin soweit bei:

\( (\frac{(n+1)!}{2(n-1)!})^2 \)

aber weiß nicht sorecht, wie ich weiter auflösen soll, bzw. wie ich mit (n-1)! umgehe.

Wolfram Alpha zeigt mir soweit:

\( \frac{n^2 (n+1)^2}{4} \)

Aber warum genau, verstehe ich auch nicht.

Bei \( \begin{pmatrix} n+2\\2 \end{pmatrix}^2 \)  z.B. bekomme ich es hin, da kann ich bis \( \frac{(n+1)^2}{4} \) rechnen.

Answer 1

Aloha :)

Für den Binomialkoeffizienten gilt: \(\binom{n}{k}=\frac{n}{k}\cdot\binom{n-1}{k-1}\).

$$\binom{n+1}{2}^2=\left(\frac{n+1}{2}\cdot\binom{n}{1}\right)^2=\left(\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n}{1}\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$$$\phantom{\binom{n+1}{2}^2}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

Comments

Ah, na klar.

Das macht natürlich Sinn. Auf solche Schritte komme ich von Kleine natürlich nicht. x)

Super, vielen Dank!

Ich habe den Koeffizienten in die Schreibweise mit Fakultäten umgeschrieben und versucht damit zu rechnen. Ginge das in dem Fall überhaupt?

Bzw. lässt sich das mit dem (n-1)! unten im Bruchstrich einfach auflösen?

EDIT: Die andere Antwort hat das Ich schon aufgeklärt! :D

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Du kannst auch mit Fakultäten rechnen, das finde ich aber fummeliger:

$$\binom{n+1}{2}=\frac{(n+1)!}{2!\cdot(n+1-2)!}=\frac{(n+1)!}{2\cdot(n-1)!}$$$$\phantom{\binom{n+1}{2}}=\frac{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}{2\cdot(n-1)!}=\frac{(n+1)n}{2}$$Das musst du nun noch quadrieren und bekommst das Ergebnis.

Answer 2

Mach dir nochmal die Definition von n! klar:

n! = n*(n-1)*...*2*1

Du kannst also (n+1)! schreiben als

(n+1)*n*(n-1)!

Siehst du jetzt, dass sich da etwas kürzt? :)

Comments

Ach..

Ja,. Okay. Das ist dann natürlich simpel, ich seh's. :) Im Unterricht wurde es soweit nie wirklich genau durchgenommen. Da nun durchzusteigen, bereitet mir Kopfschmerzen.

 Vielen Dank!

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Hi, ja, am Anfang kann das etwas schwierig sein. Die Definition von n!, wie ich sie hingeschrieben habe, hast du aber verstanden oder?

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Ich bin sie noch einmal durchgegangen und habe mich noch Mal belesen. Ich habe zumindest das Gefühl, dass ich es verstanden hätte! :)

Morgen kommen noch ein paar Übungsaufgaben dazu. Dann sehe ich, ob ich's wirklich verstanden habe.

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Alles klar, viel Erfolg :)

Answer 3

Man kann hier einfach die Definition vom Binomialkoeffizienten anwenden.

$$\begin{pmatrix} n + 1\\2 \end{pmatrix}^2\\ = \left( \frac{(n+1)!}{2! \cdot (n + 1 - 2)!} \right)^2\\ = \left( \frac{(n+1)!}{2 \cdot (n - 1)!} \right)^2\\ = \left( \frac{(n-1)! \cdot n \cdot (n+1)}{2 \cdot (n - 1)!} \right)^2\\ = \left( \frac{n \cdot (n+1)}{2} \right)^2\\ = \frac{n^2 \cdot (n+1)^2}{4}$$