Dimension von im(F1+F2)

Question

V und W seien endlichdimensionale K-Vektorräume, F1 und F2 seien lineare Abbildungen von V nach W. Zeigen Sie:

\(dim (im(F_{1} + F_{2})) \leq dim (im F_{1}) + dim (im F_{2}) \)

Bin schon so lange am Überlegen, aber komme einfach nicht drauf. Wisst ihr Rat?

Comments

Beachte, dass die Bilder ganz oder teilweise übereinstimmen können.

zB  in R^3 F1 bildet auf die x- Achse ab, F2 auf die x-y Ebene

Gruß lul

Answer 1

Es genügt zu zeigen

im(F1+F2) ⊆ im(F1) + im(F2)

denn die dim eines Teilraumes ist ja nie größer als die

des Raumes selbst.

Sei also y ∈ im(F1+F2)

==>  ∃ x∈V mit (F1+F2)(x) = y  wegen Linearität

==>                F1(x) + F2(x) = y   mit y1=   F1(x) ∈ Im(F1) 
                                                    und y2 = F2(x)  ∈ Im(F2)

==>    ∃ y1 ∈ Im(F1)     ∃ y2 ∈ Im(F2)   y1 + y2 = y

==>    y  ∈ Im(F1) + Im(F2)     q.e.d.

Comments

Erst einmal ein großes Nur: Aus dem, was du gezeigt hast, folgt doch

\(dim(im(F_{1}+F_{2})) \leq dim(im (F_{1})+ im(F_{2})) \)

aber nicht

\(dim(im(F_{1}+F_{2})) \leq dim(im F_{1})+ dim(imF_{2}) \)

Oder übersehe ich hier etwas?

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Aber dim ( A+B) ≤ dim(A) + dim(B)

folgt doch sofort aus dem Dimensionssatz

(s. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel )

dim(A+B) =  dim(A) + dim(B)  - dim(A∩B) .

und dann ist doch alles Ok.

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Äh, ja, stimmt, sorry, hatte sogar an die Dimensionsformel gedacht, aber eine kleinen Denkfehler, argh. VIELEN DANK FÜR DEINE HILFE :)

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Weißt du auch, wie man aus der obigen Ungleichung (oder direkt) eine Ungleichung herleitet, die zwischen dimV, dim kerF1, dim kerF2 und dim ker(F1+F2) besteht?

Habe ein bisschen rumprobiert, aber leider gilt weder

\(ker(F_{1}+F_{2}) \subset kerF_{1} + kerF_{2} \)

noch

\(kerF_{1} + ker F_{2} \subset ker(F_{1} + F_{2} )\).

Und deshalb fehlt mir die Idee...

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mathef? help pls :(

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Habe da auch keine Idee.

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Nicht schlimm, danke trotzdem :*