Eigenvektor zu 3x3 Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Siehe Bild

Problem/Ansatz:

Leider bin ich zu dumm um nachzuvollziehen wie die EV v2 und v3 berechnet werden.

Ich bin aus der Übung was GLS betrifft. Was ist der schnellste Weg da auf die Lösung zu kommen?

Ist da nicht auch diese Stufenform eine Möglichkeit?

Ich freue mich auf antworten..

EV fur \( \lambda_{2}=1 \)

\( \left(\begin{array}{rrr}-3 & -8 & -12 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad {V}_{-2}=\beta\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

EV für \( \lambda_{3}=2 \)

\( \left(\begin{array}{rrr}-4 & -8 & -12 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \Leftrightarrow\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right) \quad {V}_{-3}=\gamma\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

\( F S=\left\{{V}_{-1}, \quad {V}_{-2} e^{x}, \quad V_{3} e^{2 x}\right\} \)

\( y=C_{1}\left(\begin{array}{c}-4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) e^{x}+c_{3}\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) e^{2 x} \)

Comments

Ok, ich habe es gecheckt,

Ich setze für z=1.

Den Rest löse ich auf.

Aber warum kann ich für z= 1 setzen?

Weil z=z ????

Was wäre wenn x=x, würde ich dann für x= 1 setzen können?

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z=z ===> z ist freie Variable

x=x  ===> x ist freie Variable

Du kannst alle x,z ∈ K dafür einsetzen - an einfachsten rechnet es sich mit der 1 ;-)

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Hallo wächter, danke für deine Antwort.

Wenn ich ein komplexes GLS habe. (Wie oben)

Und da z=z entsteht. Dann ist auch hier ==> z eine freine Variable oder?

Mein Dozent hat in der Musterlösung z= j gerechnet.

Ich habe z= 1 gerechnet.

Meine Lösung für y unterscheidet sich etwas. Allerdings komme ich mit meiner Lösung auf die gleiche Lösung für das AWP. Jetzt bin etwas verwirrt. Gibt es möglicherweise 2 Varianten für die

Allgemeine LSG des DGL Systems?

Für v2 habe ich v2 = ß (-1, -j, 1) ^T

Answer 1

Können wir davon ausgehen:

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&0&\left(\begin{array}{rrr}-2&-8&-12\\1&4&4\\0&0&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\λ=&1&\left(\begin{array}{rrr}-3&-8&-12\\1&3&4\\0&0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\λ=&2&\left(\begin{array}{rrr}-4&-8&-12\\1&2&4\\0&0&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}-4 \; x2&-4 \; x3&-2 \; x2\\x2&0&x2\\0&x3&0\\\end{array}\right)\)

Comments

Zum Rechnen siehe

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Die Aufgabe 4, wenn j (j^2=-1) ist dann erhält man die Eigenvektoren

\(EVi \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&-1&-1\\1&-ί&ί\\1&1&1\\\end{array}\right) \)

ich vermisse v₃ zu λ₃ Du musst meine v2,v3 mit j durchmultiplizieren. Die Eigenvektoren bilden eine Basis - es sind alle vielfache und wenn Dim(Eigenraum)>1 alle linearkombinationen der Basisvektoren möglich...

Wenn DU die App anschaust, wirst Du oft Unterschiede zwischen meiner schrittweisen Rechnung im CAS und dem eingebauten Befehl JordanDiagonalization() finden...

Ach, jetzt hab ich die Antwort kommentiert - gehört nach oben zur Aufgabe 4