Wahrscheinlichkeit Bio-Hof

Question

Aufgabe:

Auf dem Bio-Hof Hühnerglück legen die Hennen täglich ca. 1500 Eier, deren Masse X annähernd normalverteilt mit μ=55 und σ=5 ist (Angaben in g).

Hühnerglück teilt die Eier in 3 Klassen ein. Eier unter 49 g fallen in die Klasse S, Eier über 61 g gehören zur Klasse L, alle anderen Eier fallen in die Klasse M.

Problem/Ansatz:

a) Begründe, warum es sich bei der Masse X eines Ei's um eine sog. stetige Zufallsvariable handelt! Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei genau 50 g Masse hat?
b) Ungefähr wie viele Eier einer Tagesproduktion von Hühnerglück entfallen auf die Klasse M?
c) Die Schranken μ-d und μ+d der Klasse M sollen neu so festgelegt werden, dass nun ca. 750 Eier der
Tagesproduktion in die Klasse M fallen. Wie muss d dafür gewählt werden?

Answer 1

Aloha :)

a) Die Masse \(X\) eines Ei kann kontinuierliche Werte annehmen, die Zufallsgröße ist nicht qunatisiert. Daher kann man die Wahrscheinlichkeit immer nur für ein Intervall \(x\in[a;b]\) angeben, mit \(b>a\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei exakt 50g hat ist daher \(P(X=50)=0\).

b) In die Klasse M fallen alle Eier mit \(X\in[49;61]\) Gramm. Der Erwarungswert für \(X\) ist \(\mu=55\) Gramm und die Standardabweichung beträgt \(\sigma=5\) Gramm. Damit können wir die Normalverteilung in eine Standard-Normalverteilung \(\Phi\) umrechnen. Ein Ei fällt mit folgender Wahrscheinlichkeit in die Klasse M:

$$P(M)=P(49\le X\le61)=P(X\le61)-P(X\le49)$$$$\phantom{P(M)}=\Phi\left(\frac{61-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{49-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{61-55}{5}\right)-\Phi\left(\frac{49-55}{5}\right)$$$$\phantom{P(M)}=\Phi\left(1,2\right)-\Phi(-1,2)=0,88493-0,11507=76,99\%$$

c) 750 Eier ist die halbe Tagesproduktion. Wir sollen also die Grenzen der Klasse M so neu justieren, dass ein Ei mit 50% Wahrscheinlichkeit in diese Klasse fällt:

$$\frac{1}{2}=\Phi\left(\frac{(\mu+d)-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{(\mu-d)-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{d}{5}\right)-\Phi\left(-\frac{d}{5}\right)$$Wegen der Symmetrie der Gaußglocke gilt allgmein \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\). Daher können wir in der Rechnung \(\Phi\left(-\frac{d}{5}\right)\) ersetzen durch \(1-\Phi\left(\frac{d}{5}\right)\):

$$\frac{1}{2}=\Phi\left(\frac{d}{5}\right)-\left(1-\Phi\left(\frac{d}{5}\right)\right)$$$$\frac{1}{2}=2\Phi\left(\frac{d}{5}\right)-1$$$$\frac{3}{2}=2\Phi\left(\frac{d}{5}\right)$$$$\frac{3}{4}=\Phi\left(\frac{d}{5}\right)$$$$\Phi^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{d}{5}$$$$0,6744898=\frac{d}{5}$$$$d=3,37$$Damit 50% der Eier in die Klasse M fallen, müsste gelten: \(X\in[51,63|58,37]\) Gramm.

Answer 2

a) X kann überabzählbar viele Werte annehmen. P(X = 50) = 0.

b) Ungefähr 1500 · P(49 ≤ X ≤ 61) = 1500 · (Θ((61-μ)/σ) - Θ((49-μ)/σ)) Eier einer Tagesproduktion entfallen auf die Klasse M.

Θ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

c) Löse die Gleichng  Θ^-1(1/4) = (x-μ)/σ. Das ist die untere Grenze. Obere Grenze ist 2μ-x.