Lineare Abbildung, Koordinatentransformation

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die Darstellungsmatrix der folgenden linearen Abbildung f : R3 → R3: Spiegelung an der Ursprungsebene, die die Punkte (1, −1, 0)T und (0, 1, −2)T enthält, und anschließend zentrische Streckung (d.h. in alle Richtungen, Streckzentrum= ⃗0) um Faktor 9.
Hinweis: Der Vektor (2, 2, 1)T steht senkrecht auf den beiden o.g. Vektoren.

Problem/Ansatz:

Komme bei dieser Aufgabenstellung einfach nicht weiter. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Ich bedanke mich schonmal vorab!

Answer 1

Hallo

1. die Ursprungsebene ist wegen des Normalenvektors : 2x+2y+z=0

an ihr spiegelst du die 3 Standardbasisvektoren, dann  die Streckung um 9  einfach die bespiegelten Punkte *9

die 3 so erzeugten Bilder sind die Spalten der gesuchten Matrix.

Gruß lul

Answer 2

Das allgemeine Verfahren die Matrix einer Abbildung zu erstellen ist die Basisvektoren abzubilden. Die Bildvektoren bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix.

Der Normalenvektor der Spiegelebene ist gegeben, normiert n=1/sqrt(5)(2,2,1)

für e1=(1,0,0)

Abstand n e1, den 2mal Richtung -n zum Spiegelbild

e1‘=(1,0,0)-2( n (1,0,0) ) n

das für e2, e3 und in spalten angeordnet ===> S spiegelmatrix.

Strecken heißt alle koordinaten um faktor 9 verlängern

Z=9Einheitsmatrix

Abbildungsmatrix A= Z S

wenn zuerst gespiegelt wird...