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Aufgabe:

Eine Kurve fünfter Ordnung ist pkt.-symmetrisch zum Ursprung und hat in der Nullstelle (1 | 0) ein relatives Minimum. Ihre Normale (Orthogonale) in O (0 | 0) hat die Steigung -1/3.

Berechnen Sie ihre Gleichung


Problem/Ansatz :

Der Ansatz lautet ja f(x) = ax5 + bx3 + cx  wegen der Symmetrie. Das c müsste 3 lauten, da die Ableitung

f'(x)= 5ax4 + 3bx2 + c lautet und die Tangente der Kurve am Punkt P(0 | 0) die Steigung m = 3 besitzt. Also fehlen nur noch die Variablen a und b. Dort komme ich nicht mehr weiter. Ich weiss zwar, dass es noch eine Nullstelle (-1 | 0) geben muss wegen der pkt.-symmetrie, wenn ich aber beide Nullstellen einsetze, dann bekomme ich a + b = -3 und -a + -b = 3 raus, was sich im Additionsverfahren rauskürzen würde.

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Alles richtig soweit. Und das mit den beiden Nullstellen "hebt sich weg", weil du die Symmetrie schon im Ansatz berücksichtigt hast. Du hast "relatives Minimum" bei 1 noch nicht als Bedingung erfasst.

2 Antworten

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Beste Antwort

abakus hat im Prinzip recht. In Fragestellungen sollten die Fachbegriffe korrekt verwendet werden. Wie sollen die Lernenden (also Du) sonst die richtigen Begriffe lernen?

"Stelle" bezieht sich auf die x-Achse (wenn die Koordinatenachsen standardmässig beschriftet sind).

Beispiel: Nullstellen von f(x):= (x-1)(x-2)(x-3) sind x1 = 1, x2 = 2 und x3 = 3. Die zugehörige Kurve schneidet die x-Achse in den Punkten P(1|0), Q(2|0) und R(3|0).

Nun hast du offenbar versucht, diese Fragestellung zu deuten und etwas Vernünftiges zu rechnen.

Ich weiss zwar, dass es noch eine Nullstelle (-1 | 0) geben muss wegen der pkt.-symmetrie, wenn ich aber beide Nullstellen einsetze, dann bekomme ich a + b = -3 und -a + -b = 3 raus, was sich im Additionsverfahren rauskürzen würde.

Das passiert, wenn man die gleiche Information (hier die Punktsymmetrie) zwei mal verwendet hat.

D.h. es genügt, wenn du eine von diesen beiden Gleichungen in dein Gleichungssystem nimmst. Diese dann mit einer Gleichung kombinieren, die bisher unbenutzte Information enthält. Falls es das nicht gibt, hast du es mit einer Funktionenschar zu tun.

Avatar von 162 k 🚀

Vielen Dank! :)

Ok hab's gecheckt, wegen dem relativen Minimum muss man den Punkt (1 | 0) nehmen bei der ersten Ableitung, weil dort die Steigung m =0 ist. :D

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Eine Kurve fünfter Ordnung ist pkt.-symmetrisch zum Ursprung und hat in der Nullstelle (1 | 0) ein relatives Minimum.

Welcher Friseur/Klempner/Livestyleberater/Schrankenwärter hat diese Aufgabe gestellt?

(1|0) IST GAR KEINE NULLSTELLE!

PS: Natürlich sind Friseur, Klempner, Livestyleberater, Schrankenwärter (überwiegend) ehrenwerte Berufe.

Aber was - um Himmels Willen - ist der Aufgabenersteller von Beruf???

Avatar von 55 k 🚀

Oh, wieso nicht?

Es gibt einen gewaltigen Unterschied zwischen "Nullstelle" und "Schnittpunkt mit der x-Achse".

Deine Lehrkraft scheint diesen Unterschied nicht zu kennen.

Was ist deine Lehrkraft von Beruf?

Wie lautet dieser Unterschied?

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist (1|0).

Die Nullstelle ist x=1.

So, und jetzt warte ich auf deine Antwort: Was ist deine Lehrkraft von Beruf?
(Oder ist es der Original-Aufgabentext aus einem Lehrbuch? Auch da bin ich an viel Elend gewöhnt.)

Das war ein Ausschnitt aus dem Schul-Buch

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