Erst einmal ein Bild, damit deutlich ist, was gesucht ist. Die roten Geraden haben die Steigung -2 und berühren den Funktionsgraphen. Gesucht sind nun die beiden x-Werte der Berührpunkte.
Steigung der Funktion heißt nichts anderes als 1. Ableitung.
$$f(x)=\frac{1}{e^x-1}+x$$
Mit der Quotientenregel ableiten.
$$ f'(x)=\frac{-e^x}{(e^x-1)^2}+1$$
Die Steigung soll -2 sein.
$$ -2=\frac{-e^x}{(e^x-1)^2}+1$$
$$ 3=\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$
$$ 3 (e^x-1)^2=e^x$$
$$ 3 (e^{2x}-2e^x+1)=e^x$$
$$ 3 e^{2x}-6e^x+3=e^x$$
$$ 3 e^{2x}-7e^x+3=0 ~~~|~~~ \text{Substituiere } z=e^x$$
$$ 3z^2-7z+3=0$$
$$ z^2-\frac{7}{3}z+1=0 ~~~|~~~ pq\text{-Formel}$$
$$ z_{12}=\frac{7}{6}\pm\sqrt{\frac{49}{36}-1}$$
$$ z_{12}=\frac{7}{6}\pm\sqrt{\frac{13}{36}}$$
$$ z_1\approx1.76759187924 \Rightarrow x_1\approx\ln1.76759187924\approx0.5696181 $$
$$ z_2\approx0.565741454089 \Rightarrow x_2\approx\ln 0.565741454089\approx−0.5696181$$
