2 Stellen an denen die Steigung von f unabhängig von a ist berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist diese Funktionsschar:

Fa(x)=ax^3+(a+1)x^2+x

Es gibt 2 Stellen an denen die Steigung von Fa unabhängig von a ist. Berechnen Sie diese beiden Stellen.

Kann mir jemand dabei helfen? Ich hab jetzt bereits die Ableitung gebildet: fa'(x)=3ax^2+2ax+2x+1

Sinn macht natürlich das die eine Stelle x=0 ist, da alle Zahlen mit a dann wegfallen würden. Aber wie berechne ich jetzt die 2 Stelle?

Comments

Wenn \(3ax^2+2ax=0\) ist, dann ist \(f_a^\prime(x)=2x+1\) unabhängig von \(a\).
Eine Lösung ist \(x=0\), die andere ist \(x=-\frac23\).

Answer 1

Aloha :)

Da wir die Steigung der Funktion$$f_a(x)=ax^3+(a+1)x^2+x\quad;\quad a\ne0$$untersuchen sollen, schauen wir uns die Ableitung an:$$f'_a(x)=3ax^2+2(a+1)x+1=\pink{3ax^2+2ax}+x+1$$

Damit die Steigung \(f'_a(x)\) unabhängig von \(a\) ist, müssen sich die beiden pinken Terme, die als einzige ein \(a\) enthalten, gegenseitig wegheben:$$\pink{3ax^2+2ax}\stackrel!=0\stackrel{\div a}{\implies}3x^2+2x=0\implies 2x\cdot\left(\frac32x+1\right)=0$$Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist, also:$$x=0\quad\lor\quad x=-\frac23$$