Bestimme alle Fixpunkte von 1/3 x^3 + 1/3 x^2 + 5/4 x

Question

Hallo Leute,

heute möchte ich mal eine Fixpunkt Aufgabe lösen!

Das φ was ich gegeben habe sieht so aus: φ(x) = \( \frac{1}{3} x^{3} \)  +  \( \frac{1}{2} \)x +  \( \frac{5}{4} \)x.

Was ich schon gemacht habe, ist das auf eine Nullstellenform gebracht und das 1-Dimensionale Newton-Verfahren angewandt.

So habe ich auch schon einige Fixpunkte gefunden, nur möchte ich gerne zeigen, dass dies alle sind.

Wie gehe ich da vor?

Liebe Grüße

Webmaster

Comments

verzeiht bitte die Verwirrung. Ich habe das in der Tat falsch eingetippt und meine Aufgabe stimmte mit keiner der beiden Varianten überein. Aber Vorgehen ist jetzt klar, Nullstellen sind die Fixpunkte. Danke euch allen für die Hilfe!

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Ändere die Frage doch bitte so, dass klar wird, was gesucht war. Zombie-Aufgaben helfen niemandem.

Answer 1

Fixpunktproblem \( \phi(x)=x\) kann man auf das Nullstellenproblem zurückführen \( \phi(x)-x=0\).
Das heißt Fixpunkte von φ, sind die Nullstellen von 
1/3 x^3 + 1/3 x^2 + 1/4 x=1/3x(x^2+x+3/4). Eine Nullstelle ist leicht zu finden, nämlich 0. Wäre \(a\neq0\) eine weitere Nullstelle, dann sollte a^2+a+3/4=(a+1/2)^2+1/2=0 gelten. Was offensichtlich nicht in reellen Zahlen geht. Somit gibt es genau ein Fixpunkt.

Answer 2

Eine Gerade kann mit dem Graphen einer Funktion dritten Grades maximal drei Schnittpunkte haben.

Answer 3

Die Funktion in der Überschrift stimmt nicht mit der im Text überein.

Warum du das Newton-Verfahren anwendest, ist mir ein Rätsel, da x ausklammern den Fixpunkt (0|0) liefert. Weitere reelle Fixpunkte gibt es bei beiden Funktionen nicht.

Answer 4

Die Funktion in deiner Überschrift und die erste
angegebene Funktion im Fragetext stimmen nicht überein.

Ich habe mich gerade bei Wikipedia einmal
schlau gemacht und meine für

φ(x) = 1/3*x^3  +  1/2*x^2 +  5/4*x. = x

1/3*x^3  +  1/2*x^2 +  5/4*x. = x    | : x
1/3*x^2  +  1/2*x +  5/4 = 1
x = 0
f ( 0 ) = 0
( 0 | 0 )