Diese Aufgabe über Exponentialfunktionen so richtig gemacht?

Question

Hallo Mathelounge,

folgende Ausgabe ist gegeben: Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes in cm pro Jahr soll im Folgenden durch die Funktion f mit f(x) = 90 * 0,87^x modelliert werden, wobei x die Zeit in Jahren nach der Pflanzung angibt. Der Baum ist zum Zeitpunkt der Pflanzung 90 cm hoch.

Könnte jemand drüber schauen und sagen, ob ich diese Aufgaben so richtig gemacht habe?

a) Geben Sie die Stammfunktion von f an.

b) Berechnen Sie mithilfe einer Stammfunktion $$\int_{0}^{10} f(x)dx$$ Erläutern Sie das Ergebnis im Kontext.

c) Berechnen Sie die Höhe des Baumes nach 20 Jahren.

d) Berechnen Sie die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit innerhalb der ersten 20 Jahren.

Meine Lösungen:

a) f(x) = 90*0,87^x

F(x) = 1/2 * e^k*x da F(x) in meinem Buch so angegeben ist: 1/k*e^k*x also habe ich noch den Anfangswert hinzugefügt

k berechnet und eingesetzt ergibt es F(x) = 90 * 1/2 *e^(-0,14)*x aber wenn ich den Integral per TR berechnen lasse, kommt folgendes raus (habe keine Grenzen angegeben): -646,264*(0,87)^x

b) Hier habe ich meine Lösung genommen (F(x) = 90 * 1/2 *e^(-0,14)*x) und für x 10 und danach 0 eingesetzt. Danach, die Lösung mit x=10 mit der Lösung von x=0 subtrahiert und als Ergebnis -33,90 (??) erhalten.

c) 20 = x*0,87²⁰

   20 = x*0,061714    | /0,061714

    x = 324, 075                       - glaube, dass c) richtig ist -

d) $$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx$$

$$\frac{1}{20-0} \int_{0}^{20} f(x)dx$$

= //habe ich nicht gelöst, weil ich das Problem bei b) hatte, dass ich schriftlich etwas anderes raushatte, als mit dem Taschenrechner.

Hoffe wirklich, dass mir jemand helfen kann, auch wann es etwas viel ist :)

Answer 1

a) f(x) = 90*0,87^x

Stammfunktion: \( \frac{90}{ln(0,87)} \)·(0,87^x-1)

Comments

Ich weiß jetzt ehrlich gesagt nicht, wie Sie auf diese Stammfunktion gekommen sind.

In meinem Buch steht F(x) = 1/k * e^k*x wahrscheinlich haben Sie ein bisschen umgeformt, damit Sie auf 90/ln(0,87) * (0,87^x -1) kommen.

Wahrscheinlich muss man der Stammfunktion wie im Buch beschrieben noch den Anfangswert hinzufügen?

Außerdem konnte ich b) nicht lösen, weil, wenn ich die Stammfunktion nehme, die Sie gebildet haben, und dort 10 und danach 0 einsetze und die beiden Zahlen voneinander abziehe, komme ich auf 558,295. Aber laut TR müsste ich auf 485,717 kommen.

Answer 2

a) F(x) = 90*0,87^x/ln0,87

b) [90*0,87^x/ln0,87] von 0 bis 10

c)  [90*0,87^x/ln0,87] von 0 bis 20 +90= 696,38 cm