Question

Entscheiden Sie jeweils, ob (a_n)_n∈N konvergent ist. Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an:

 

(a) ∀ε> 0 ∃n₀  ∈ ℕ ∀n ≥ n₀ :   | a_n − a_n+1 | < ∈,
(b) ∃c > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀n ≥ n₀ :   | a_n  − a_n+1 |  < (c/2ⁿ).
 

 

Ich komme leide in keinster Weise mit der Aufgabe klar, hilft mir bitte!!!

Answer 1

Zu (a). Ein Gegenbeispiel ist die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe, d.h.$$a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k.$$Zu (b). Die Folge ist konvergent. Vgl. https://www.mathelounge.de/66747/wie-zeige-ich-dass-eine-folge-eine-cauchy-folge-ist

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort :). Könntest du mir für den Gegenbeispiel einen kleinen Ansatz zeigen? Dass hatten wir in den Vorlesungen nicht ausführlich besprochen.

---

Via Stichwort harmonische Reihe. https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Divergenz

kommt man drauf, das mit dem Majorantenkriterium oder dem logarithmus naturalis zu zeigen.

---

Hi Lu
also zunächst ich bin nicht der fragensteller und ich weiß ist schon was zeit her dass diese frage gestellt / beantwortet wurde.Aber könntest du mir vielleicht doch kurz sagen wie du bei dieser Aufgabe vorgegangen bist weil ich mit dieser Art Aufgabe immer noch Probleme habe .

---

Hallo Anonym. Ich musste diese Aufgabe nicht lösen. Vielleicht meldet sich ja der Beantworter nochmals.

---

Ach sry habe ich mich irgendwie verlesen