Zeigen Sie, dass stets dim(CA) ≥ 1 gilt.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ Mat(m × m, K) eine fixierte Matrix.

a) Zeigen Sie, dass die Menge C_A= {B∈Mat(m×m,K)|B·A=A·B} ein Unterraum des K-Vektorraums Mat(m×m, K) ist.

Zeigen Sie, dass stets dim(C_A) ≥ 1 gilt.
b) Geben Sie die Dimension von C_A (siehe Teil a)) für A=\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\3 & 4 \end{pmatrix} \) ∈Mat(2×2,C)

Problem/Ansatz:

Zu a) habe ich mir erst überlegt die 3 Bedingungen zu zeigen, dass C_A  ein UVR ist. Aber ich weiß nicht wie ich das am besten machen soll. Darf ich denn sagen : Sei B= {b1, b2} und sei A={a1, a2} und dann so die Bedingugen zeigen, oder wäre das falsch? :r

zu b) Die dim von A ist 2, aber weiter komme ich leider nicht.

Comments

Die dim von A ist 2,

Matrizen haben keine Dimension, Vektorräume haben eine Dimension.

A ist eine Matrix. Also hat A keine Dimension. Insbesondere ist die Dimension von A nicht 2.

Noch nicht ein mal der Vektorraum, aus dem A stammt, hat die Dimension 2, sondern die Dimension 4.

Matrizen haben einen Rang. Der Rang von A ist 2.

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Stimmt! Ich meine den Rang, tut mir leid!

Answer 1

a) Seien B₁, B₂ ∈ C_A. Dann ist

        (B₁+B₂)·A = B₁·A + B₂·A = A·B₁ + A·B₂ = A·(B₁+B₂)

also ist B₁+B₂ ∈ C_A.

Ähnlich kann man zeigen, dass αB₁ ∈ C_A ist.

Zeige auch noch, dass C_A ≠ ∅ ist indem du ein Element von C_A angibst. Falls dieses Element nicht die Nullmatrix ist, dann hast du damit auch gezeigt, dass dim(C_A) ≥ 1 ist.

b) Löse die Gleichung

        \(\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}\).