dim(U) = dim(V) ⇒ U = V

Question

Sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum. Zeigen Sie:

dim(U) = dim(V) ⇒ U = V

Answer 1

Hattet ihr den "Basisergänzungssatz"

Jedes lin. unabhängige System in einem Vektorraum lässt sich zu

einer Basis ergänzen oder ist selbst eine Basis.

Dann geht es wohl so:

Sei B eine Basis von U und (da endlichdimensional) die Anzahl ihrer Vektoren dim(U).

Diese Basis ist ein lin.unabhängiges System in V . Wegen dim (V) =dim(U)

 lässt sich nichts mehr ergänzen, also ist es auch eine Basis von V.

Weil U und V eine gemeinsame Basis haben, sind sie gleich.

Answer 2

mathef's Lösung ist gut und präzise, ich gebe einen zweiten Ansatz, jenachdem wie euer Prof die Fundamente gelegt hat. In Grunde genommen ist der Beweis fast gleich, er benutzt nur eine andere äquivalente Form eines Satzes.

Angenommen, \(U\subset V\) ist ein echter Unterraum mit \(\dim U = \dim V\) und sei gegeben eine Basis \(B\) von \(U\). Dann existiert ein \(v\neq 0 \in V\setminus U\), für dieses \(v\) ist die Menge \(B' = B\cup\{v\}\) linear unabhängig in \(V\). Nach Annahme gilt \(|B'| = \dim V + 1\), was ein Widerspruch zum Satz ist, dass die Dimension eines Raumes eine obere Schranke für die Größe von linear unabhängige Mengen in ihm ist.