hi! ^^ :-)
gucken wir uns erstmal den term cos(2nπ/3) an.
der liefert die werte 1, wenn n durch 3 teilbar ist,
sonst -1/2. daraus folgt, dass wir die
reihe ∞∑n=1(-2/3)n cos 2nπ/3 schreiben können als
$$
\left(-\frac{2}{3}\right)^1\left(-\frac{1}{2} \right) +
\left(-\frac{2}{3}\right)^2\left(-\frac{1}{2} \right) +
\left(-\frac{2}{3}\right)^3 +
\left(-\frac{2}{3}\right)^4\left(-\frac{1}{2} \right) +
\left(-\frac{2}{3}\right)^5\left(-\frac{1}{2} \right) +
\left(-\frac{2}{3}\right)^6 +
\left(-\frac{2}{3}\right)^7\left(-\frac{1}{2} \right) + ... \\
$$
es lassen sich einige regelmäßigkeiten entdecken.
$$$$
1)
ist der exponent ungerade und nicht durch 3 teilbar,
entsteht eine teilreihe mit positiven summanden.
$$
\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^7\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^{11}\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^{13}\left(\frac{1}{2} \right) + ... \\
$$
diese teilreihe lässt sich in zwei geometrische reihen aufteilen
$$
\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^7\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^{13}\left(\frac{1}{2} \right) + ... = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n+1} \\
\left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^{11}\left(\frac{1}{2} \right) +
\left(\frac{2}{3}\right)^{17}\left(\frac{1}{2} \right) + ... =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-1} \\
$$
2)
ist der exponent gerade und nicht durch 3 teilbar, entsteht
eine teilreihe mit negativen summanden
$$
-\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^8\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^{14}\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^{16}\left(\frac{1}{2} \right) -
$$
die lässt sich auch als zwei geometrische reihen schreiben
$$
-\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^8\left(\frac{1}{2} \right) \\ -
\left(\frac{2}{3}\right)^{14}\left(\frac{1}{2} \right) - ... = \left(-\frac{1}{2} \right)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-4} \\\\
\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{1}{2} \right) -
\left(\frac{2}{3}\right)^{16}\left(\frac{1}{2} \right) - ... = \left(-\frac{1}{2} \right)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-2}
$$
3)
übrig bleiben die summenglieder, in denen durch 3 teilbare exponenten
vorkommen. auch hier lassen sich zwei geometrische reihen erkennen
$$
-\left(\frac{2}{3}\right)^3 -
\left(\frac{2}{3}\right)^9 -
\left(\frac{2}{3}\right)^{15} - ... = -\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-3}\\
\left(\frac{2}{3}\right)^6 +
\left(\frac{2}{3}\right)^{12} +
\left(\frac{2}{3}\right)^{18} + ... = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n}\\
$$
die gegebene reihe lässt sich in 6 unendlichen geometrischen reihen aufteilen, deren
summen sich berechnen lassen.
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left( \left(-\frac{2}{3} \right)^n \cos \left(\frac{2\pi n}{3} \right) \right) = \\
\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n+1} +
\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-1} -
\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-4} \\ -
\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-2} +
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-3} +
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n} = \\
\frac{243}{665} +
\frac{48}{665} -
\frac{162}{665} -
\frac{72}{665} +
\frac{216}{665} +
\frac{64}{665}
= - \frac{1}{7} \\
$$
gruß
gorgar
