Wie untersuche ich hier die Konvergenz?

Question

Hi, ich bin gerade an dieser Aufgabe:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(1+i)^{-n}}{n} =\sum \limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}*\frac{1}{n}$$

und wollte fragen, ob meine Überlegungen so richtig sind. Weil ich glaube, dass ich falsche MItschriften gemacht habe. Ich habe mir aufgeschrieben, dass diese Reihe nicht konvergeirt, aber das tut sie doch, oder nicht?

Könntet ihr mir vielleicht auch sagen, welches Kriterium ich hier anwenden könnte? Das Majorantenkriterium ginge, oder? Aber welche Majorante könnte ich wählen?
VG:)

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Summenglieder \(a_n\) als Real- und Imaginärteil:

$$a_n=\frac{(1+i)^{-n}}{n}=\frac{\left(\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)\right)^{-n}}{n}=\frac{\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)^{-n}}{n(\sqrt2)^n}=\frac{\left(e^{i\pi/4}\right)^{-n}}{n(\sqrt2)^n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{e^{-in\pi/4}}{n(\sqrt2)^n}=\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)}{n(\sqrt2)^n}-i\,\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)}{n(\sqrt2)^n}$$

Die komplexe Reihe konvergiert, wenn die Reihe aus Realteil und die Reihe aus Imaginärteil konvergieren. Beide Reihen konvergieren.

Answer 2

Hallo

1.das = Zeichen ist falsch, links summe von komplexen Zahlen, rechts reelle Zahlen!

 du hast also nur die Summe der Beträge angesehen, die Konvergiert. aber (1+i)n=√2^n *eiπ/4 *n ist ja nicht  gleich dem Betrag.  du hast 7 verschiedene Summanden, bevor sich das wiederholt.

Gruß lul