Question

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung f : R³ → R³
,
f(x) = Ax mit
  A :=      −9 −12  4
             8    11     −4
               0    0    −1

 ∈ R³×3
.
Prufen Sie bitte Ihre Rechnung, z.B. mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems.

könnten Sie bitte die Frage lösen

ich wäre Dankbar

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Welche Frage?

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Eigenwerte der Matrix benötigst du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das du aus der Determinante berechnest:$$p(\lambda)=\left|\begin{array}{c}-9-\lambda & -12 & 4\\8 & 11-\lambda & -4\\0 & 0 & -1-\lambda\end{array}\right|=(-1-\lambda)\left|\begin{array}{c}-9-\lambda & -12\\8 & 11-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{p(\lambda)}=-(1+\lambda)\left[(-9-\lambda)(11-\lambda)-8\cdot(-12)\right]=-\lambda^3+\lambda^2+5\lambda+3$$$$\phantom{p(\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda+1)^2$$Die Eigenwerte sind also $\lambda_1=3$ und $\lambda_2=-1$. Die zugehörigen Eigenvektoren $\vec x$ erhältst du durch Lösen der Gleichung:$$\left(\begin{array}{c}-9-\lambda & -12 & 4\\8 & 11-\lambda & -4\\0 & 0 & -1-\lambda\end{array}\right)\cdot\vec x=\vec 0$$

Für $\lambda_1=3$ heißt das:$$\vec 0=\left(\begin{array}{c}-12 & -12 & 4\\8 & 8 & -4\\0 & 0 & -4\end{array}\right)\cdot\vec x_1=\left(\begin{array}{c}3 & 3 & -1\\2 & 2 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x_1=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x_1$$Offensichtlich muss $z=0$ und $y=-x$ gelten. Daher ist ein Eigenvektor:$$\vec x_1=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)$$Beachte, dass jedes Vielfache dieses Vektors ebenfalls ein Eigenvektor ist.

Für $\lambda_2=-1$ finden wir:$$\vec 0=\left(\begin{array}{c}-8 & -12 & 4\\8 & 12 & -4\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\vec x_1=\left(\begin{array}{c}2 & 3 & -1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\vec x_1$$Es ist also die Bedingung $2x+3y-z=0$ zu erfüllen. Für $x=0$ folgt $z=3y$ und für $y=0$ folgt $z=2x$. Das führt auf 2 Eigenvektoren:$$\vec x_{2,1}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right)\quad;\quad\vec x_{2,2}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)$$Beachte, dass jede Linearkombination dieser Vektoren wieder ein Eigenvektor ist.

Answer 2

Prufen Sie bitte Ihre Rechnung, z.B. mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28++%E2%88%929%2C+%E2%88%9…

Hier kannst du das einfach kontrollieren.

Text erkannt:

Eigenvalues:
$\lambda_{1}=3$
$\lambda_{2}=-1$
$\lambda_{3}=-1$
Eigenvectors:
$v_{1}=(-1,1,0)$
$v_{2}=(1,0,2)$
$v_{3}=(-3,2,0)$
Diagonalization:

 Lies ruhig alles, was Wolframalpha interessant findet an deiner Matrix.