Aloha :)
Zur Bestimmung der Eigenwerte der Matrix benötigst du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das du aus der Determinante berechnest:$$p(\lambda)=\left|\begin{array}{c}-9-\lambda & -12 & 4\\8 & 11-\lambda & -4\\0 & 0 & -1-\lambda\end{array}\right|=(-1-\lambda)\left|\begin{array}{c}-9-\lambda & -12\\8 & 11-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{p(\lambda)}=-(1+\lambda)\left[(-9-\lambda)(11-\lambda)-8\cdot(-12)\right]=-\lambda^3+\lambda^2+5\lambda+3$$$$\phantom{p(\lambda)}=-(\lambda-3)(\lambda+1)^2$$Die Eigenwerte sind also \(\lambda_1=3\) und \(\lambda_2=-1\). Die zugehörigen Eigenvektoren \(\vec x\) erhältst du durch Lösen der Gleichung:$$\left(\begin{array}{c}-9-\lambda & -12 & 4\\8 & 11-\lambda & -4\\0 & 0 & -1-\lambda\end{array}\right)\cdot\vec x=\vec 0$$
Für \(\lambda_1=3\) heißt das:$$\vec 0=\left(\begin{array}{c}-12 & -12 & 4\\8 & 8 & -4\\0 & 0 & -4\end{array}\right)\cdot\vec x_1=\left(\begin{array}{c}3 & 3 & -1\\2 & 2 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x_1=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\vec x_1$$Offensichtlich muss \(z=0\) und \(y=-x\) gelten. Daher ist ein Eigenvektor:$$\vec x_1=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)$$Beachte, dass jedes Vielfache dieses Vektors ebenfalls ein Eigenvektor ist.
Für \(\lambda_2=-1\) finden wir:$$\vec 0=\left(\begin{array}{c}-8 & -12 & 4\\8 & 12 & -4\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\vec x_1=\left(\begin{array}{c}2 & 3 & -1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\vec x_1$$Es ist also die Bedingung \(2x+3y-z=0\) zu erfüllen. Für \(x=0\) folgt \(z=3y\) und für \(y=0\) folgt \(z=2x\). Das führt auf 2 Eigenvektoren:$$\vec x_{2,1}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right)\quad;\quad\vec x_{2,2}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)$$Beachte, dass jede Linearkombination dieser Vektoren wieder ein Eigenvektor ist.
