Wahrscheinlichkeit für Spielpaarung

Question

Liebe Lounge,

folgende Aufgabe:

In einem Lostopf liegen die Kugeln für 4 Mannschaften (A,B,C,D).

Aus diesen 4 Kugeln werden jetzt zweimal zwei Kugeln ohne zurücklegen entnommen, um die beiden Paarungen festzulegen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass es zu der Paarung AB kommt, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Mein Ansatz war zunächst 4 über 2 also 6 Möglichkeiten.

Davon ist eine günstig. Also 1/6.

Jetzt habe ich aber etwas länger darüber nachgedacht.

Das ist ja eigentlich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Paarung AB (BA) in der ersten Ziehung gezogen wird oder?

Müsste man nun noch die WKeit hinzuaddieren, dass AB(BA) in der zweiten Ziehung gezogen wird ?

!!

Answer 1

Genau du musst die 6 Möglichkeiten einfach nur durch 2 teilen. Weil es egal ist ob du zuerst A und B oder zuerst C und D ziehst. Es kommt dabei die gleiche Paarung heraus.

Welche Paarungen können entstehen

AB - CD
AC - BD
AD - BC

(4 über 2) / 2 = 3

Da jede Paarung die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, ist die WK 1/3, dass A und B gepaart sind.

Comments

Ja okay. Meine Frage ist nun, wie man das Ganze modellieren kann, wenn man 8 Kugeln für 8 Teams hat...

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Also ich habe das mal ausgerechnet.

Super unübersichtlich mit einem Baum.

Komme auf eine Wahrscheinlichkeit von 3/14 für die Paarung AB.

Stimmt das? Und falls ja, wie geht es kombinatorisch?

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Es geht ja nur um das Pärchen in dem auf jeden Fall A enthalten ist. Daher brauchst du auch nur die betrachten.

AB - CDEFG
AC - BDEFG
AD - BCEFG
AE - BCDFG
AF - BCDEG
AG - BCDEF

Alternativ kannst du auch nur die Pärchen betrachten in denen auf jeden Fall B enthalten ist. Das ist aber eine Alternative. Man betrachtet nicht beides.

Answer 2

Aloha :)

Die Reihenfolge, in der die beiden Kugeln gezogen werden, spielt keine Rolle. Mögliche Ziehungen sind:

AB, AC, AD, BC, BD, CD

Die Partien, die daraus resultieren, sind:

AB - CD

AC - BD

AD - BC

BC - AD

BD - AC

CD - AB

Die Paarung AB tritt 2-mal auf, wenn zuerst AB oder wenn zuerst CD gezogen werden. Das sind \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) der Fälle.

Comments

Ok. Und wie müsste man das ganze modellieren, wenn es 8 Kugeln wären?

Das macht das ganze ja ungleich komplizierter ...

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Es ist völlig unnötig, alle möglichen Paarungen zu zählen.

Irgendwann wird A gezogen. Für die Mannschaft, die als Partner für A gezogen wird, gibt es drei gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. Die Paarung AB hat also die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Mit der gleichen Argumentation beträgt die Wahrscheinlichkeit dieser Paarung bei 8 Mannschaften 1/7.

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Aber das ist ja nur so, wenn A als erstes gezogen wird...

Falls A nicht als erstes gezogen wird, stimmt diese Argumentation ja nicht mehr oder?

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Kann ich einfach voraussetzen, dass ich A als erstes ziehe?

Dann ist mir klar, dass die w keit dann 1/n-1 ist.

Aber wieso darf man das ?

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A ist ein Teil einer Zweiergruppe oder? Wie viele möglichkeiten gibt es dann für den Partner von A?

Haben alle diese Partner die gleiche Wahrscheinlichkeit?

Ok. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit das ausgerechnet B der Partner von A wird?

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Aber gibt es nicht auch 7 Möglichkeiten für Partner von B? Und davon ist ein Partner A.

Müsste es dann nicht 1/7 + 1/7 sein??

Sorry, dachte eig. Dass dieses Beispiel super einfach wäre...

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Die Pfadregel besagt entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Man geht dabei nur in eine Richtung und nicht wieder zurück.

Die wahrscheinlichkeit beim Würfeln einen Pasch zu haben ist 1/6. Weil es für den ersten Würfel der zu 100% ja irgendwie Fällt genau 1 von 6 Partnern gibt.

Das A irgendwann gezogen wird steht ja auch zu 100% fest. Egal ob in einem Paar als erstes oder zweites. Das der zugehörige Partner B ist tritt in einem von 7 Fällen auf.