Gibt es Abbildungen mit diesen Eigenschaften?

Question

Hi, Ich beschäftige mich gerade mit der Injektivität, Surjektivität bzw. Bijektivität von Abbildungen in Form von Matrizen und habe mal eine Frage zu einer Frage, die in einem anderen Forum gestellt wurde:

Hätte eine Frage zu einer Aufgabe:
Also ich habe die Matrix erstmal in Zeilenstufenform umgeformt, dann erhält man \( \left(\begin{array}{cccc}{1} & {-1} & {1} & {1} \\ {0} & {-3} & {-2} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)
Laut VL gilt für eine Abbildung \( \phi: R^{n} \rightarrow R^{m} \) mit LGS \( A x=b b \in R^{n} \)
a) Surfekvitizt, wenn der Zeilenrang gleich \( m \) ist
b) Injektivität, wenn der Spaltenrang gleich \( n \) ist.
\( a) m=3, \) zeilenrang \( =2 \Rightarrow \) Keine Surjektivität \( b) n=4, \) Spaltenrang \( =4 \Rightarrow \) Die Abbildung \( \phi \) ist injektiv.
Bei der \( b \) ) ist jetzt nach den Basen vom Kern und des Bilds gefragt.
Wir wissen ja durch die Injektivität, dass Ker \( \phi=\{0\} . \) Wie soll es da jetzt dann eine Basis geben?
Über das Bild wissen wir, dass Im \( \phi \) nicht auf alle Elemente in \( R^{4} \) abbildet. Ich bilde ja ab von \( \left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right) \) mit den Bedingungen
1) \( x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}(=07) \)
2) \( -3 x_{2}-2 x_{3}+x_{4}(=0 ?) \)
Falls ich hier \( =0 \) setzen kann, könnte ich nach Variablen auflisen, um einen der 3 Vektoren umzuformulieren - aber wie komme ich hier auf meine Basis?
Vielen Dank! :- )
Antwort:Es gilt stets Zeilenrang = Spaltenrang! Hier ist \( \Phi \) also weder injektiv noch surjektiv.“

Aber wenn der Zeilenrang gleich der Spaltenrang ist, kann es dann überhaupt Matrizen geben, die Surjektiv aber nicht Injektiv sind bzw. welche die Injektiv aber nicht Surjektiv sind?

Und wisst ihr vielleicht noch weitere Kriterien, an denen man festmachen kann, ob eine Abbildung in Form einer Matrix Surjektiv, Injektiv oder bijektiv ist? Ich habe nämlich im Internet keine anderen Kriterien gefunden...

Gurkeneintopf

Answer 1

Spaltenrang = 4

Spaltenrang ist 2.

Ker ϕ={0}. Wie soll es da jetzt dann eine Basis geben?

Die Basis wäre dann die leere Menge.

Die Menge der Spalten der Matrix ist ein Erzeugendensystem des Bildes. Finde eine maximale linear unabhängige Teilmenge davon.

Aber wenn der Zeilenrang gleich der Spaltenrang ist, kann es dann überhaupt Matrizen geben, die Surjektiv aber nicht Injektiv sind

Ja. \( \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix} \)

Comments

Und wisst ihr vielleicht noch weitere Kriterien, an denen man festmachen kann, ob eine Abbildung in Form einer Matrix Surjektiv, Injektiv oder bijektiv ist?

Ich kenne keine.

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Deine Beispielmatrix hat mir sehr geholfen. Mir ist allerdings nicht so ganz klar warum es immer heißt, Zeilen= Spaltenrang.

Wäre es dann nicht so, dass es bei quadratischen Matrizen nicht geht, dass diese Surjektiv aber nicht Injektiv, bzw. das Gegenteil sind?

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Mir ist allerdings nicht so ganz klar warum es immer heißt, Zeilen= Spaltenrang.

Elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern weder den Zeilenrang, noch den Spaltenrang.

Jede Matrix lässt sich durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in reduzierte Zeilenstufenform bringen.

Bei Matrizen in reduzierter Zeilenstufenform ist Zeilenrang = Spaltenrang.

Wäre es dann nicht so, dass es bei quadratischen Matrizen nicht geht, dass diese Surjektiv aber nicht Injektiv, bzw. das Gegenteil sind?

Genau so ist es. Die Abbildung einer quadratischen Matrix ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist.

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Ok, vielen Dank, dass du nochmal geantwortet hast. Hast mir damit sehr geholfen:)