Matrizenbeweis LinA (Allgemein)

Question

Hi, kann mir einer sagen, ob mein Argument richtig ist.

Text erkannt:

b) $V_{1}, \ldots, V_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ bilden eine
$\Longleftrightarrow$ Die $n \times n$ Matrix mit Basis von $\mathbb{R}^{n}$ zeilenveltoren $V_{1} \ldots . V_{n}$ hat den Rany $n$

Beweis.
$\left(\Longrightarrow\right.$ : Sei $V_{1}, \ldots, V_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ eine Basis des $\mathbb{R}^{n}$. Also $\mathbb{R}^{n}=\operatorname{Lin}\left(V_{1,}, W_{1}\right)$ Definiere ein Isomorphismus $\varphi_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, x \mapsto A x$.
Hierbei ist $A=\left(\begin{array}{c}-v_{1} \\ \vdots \\ -v_{n}\end{array}\right) \in G L(M) \subset \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})$
Dann ist der Zeilenraum von A gerade das Bild von l $k$ somit der $\mathbb{R}^{n}$ da $l$ Isomorphismus ist.
Gleichzeitig ist die Dimension des Zeilen raumes gerade der Rang von $A \&$ auch die Dimension des Bildes.
Es gilt: $\operatorname{rang} A=\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(\ell))=\operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right)=n$.
$(\Leftrightarrow)$ : Sei $A=\left(\begin{array}{c}-v_{1}- \\ \vdots \\ -v_{n}-\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})$ mit $\operatorname{rang} A=n$.
$\Rightarrow$ Der Zeilenraum von $A$ hat Dimension $n$
D.h. $V_{1}, \ldots, V_{n}$ ist Basis des Zeilenraumes $X$ somit linear unabhängig \& $n$-Stück wegen der Dincension des Spaller raumes.
Damit bilden sie auch Basis des $n$-dimensionalen $\mathbb{R}^{n}$.

Answer 1

Der Rang einer Matrix ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen (oder Spalten). Eine Basis besteht aus linear unabhänigen Vektoren. Also ist der Rang gleich n.

Comments

Ist mein Beweis also korrekt?