Hi, kann mir einer sagen, ob mein Argument richtig ist.
Text erkannt:
b) \( V_{1}, \ldots, V_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) bilden eine
\( \Longleftrightarrow \) Die \( n \times n \) Matrix mit Basis von \( \mathbb{R}^{n} \) zeilenveltoren \( V_{1} \ldots . V_{n} \) hat den Rany \( n \)
Beweis.
\( \left(\Longrightarrow\right. \) : Sei \( V_{1}, \ldots, V_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{n} \). Also \( \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Lin}\left(V_{1,}, W_{1}\right) \) Definiere ein Isomorphismus \( \varphi_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, x \mapsto A x \).
Hierbei ist \( A=\left(\begin{array}{c}-v_{1} \\ \vdots \\ -v_{n}\end{array}\right) \in G L(M) \subset \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \)
Dann ist der Zeilenraum von A gerade das Bild von l \( k \) somit der \( \mathbb{R}^{n} \) da \( l \) Isomorphismus ist.
Gleichzeitig ist die Dimension des Zeilen raumes gerade der Rang von \( A \& \) auch die Dimension des Bildes.
Es gilt: \( \operatorname{rang} A=\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(\ell))=\operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right)=n \).
\( (\Leftrightarrow) \) : Sei \( A=\left(\begin{array}{c}-v_{1}- \\ \vdots \\ -v_{n}-\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) mit \( \operatorname{rang} A=n \).
\( \Rightarrow \) Der Zeilenraum von \( A \) hat Dimension \( n \)
D.h. \( V_{1}, \ldots, V_{n} \) ist Basis des Zeilenraumes \( X \) somit linear unabhängig \& \( n \)-Stück wegen der Dincension des Spaller raumes.
Damit bilden sie auch Basis des \( n \)-dimensionalen \( \mathbb{R}^{n} \).
