Ach die Basis brauch ich ja für die Diemension.
2x3 Matrix mit einem 1 und sonst alles null wäre ja dann:
0 1 0
0 0 0
dann wäre z.b. bei der 2x3 Matrix die dim = 6 oder??
genau, denn davon gibt es ja 6 Stück, jedesmal die 1 an anderen Stelle.
zu: hey, aber wie soll ich die Vektorrraumaxiome mit einer Matrix nachweisen, also des hatten wir nicht oder versteh ich dein Ansatz falsch.
Die Elemente des Vektorraums sind hier eben die Matrizen sein, das muss nicht
immer unbedingt sowas sein wie du es als "Vektor" bisher kennst.
Wenn die Vektorraumaxiome stimmen, dann nennt man die Objekte
(egal was es ist) Vektoren in diesem Vektorraum.
Die meisten Vektorraumaxiome sind hier einfach zu zeigen ich mach mal
als Beispiel Assoziativgesetz vor:
Du denkst dir also drei Matrizen aus deinem "Raum".
a11 ....... a1n b11........b1n c11 c1n
(.................... + ....................... ) + ........................
am1.........amn bm1 ......bmn cm1 ........cmn
nach Def. der Matrizenadd.:
a11+b11 ....... a1n+b1n c11 c1n
............... .... + ..................... .........
am1+bm1.........amn+bmn cm1 ........cmn
wieder Def: hast du nur noch eine Matrix:
(a11+b11)+c11 ... .... (a1n+b1n)+c1n
............... .....................
(am1+bm1)+cm1... ......(amn+bmn)+cmn
wegen der Assoziativität bei den Zahlen ist das gleich
a11+(b11+c11) ... .... a1n+(b1n+c1n)
............... .....................
am1+(bm1+cm1)... ......amn+(bmn+cmn)
Jetzt wieder Def. der Matrixadd. sozusagen rückwärts machst du
die Summe zweier Matrizen draus
a11 a1n b11+c11 ... .... b1n+c1n
............... ......+...............
am1 amn bm1+cm1... ......bmn+cmn
Und jetzt bei der hinteren Matrix wieder die Definition rückw. anwenden
dann hast du das gleiche wie ganz am Anfang, nur sind die Klamern nicht
um die ersten beiden Matrizen sondern um die hinteren beiden, kurz und
gut: Das Ass.ges. gilt bei der Matr.add. auch.
Und so musst du die ganzen anderen Gesetzte auch zeigen, indem du
sie auf die Gesetze für die Zahlen in der Matrix zurückführst.
