Es seien V ein Vektorraum mit dim V < ∞ und f ∈ L(V, V)

Question

Aufgabe:

Es seien \( \boldsymbol{V} \) ein Vektorraum mit \( \operatorname{dim} \boldsymbol{V}<\infty \) und \( f \in \mathrm{L}(\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V}) \).

(a) Zeige: \( \boldsymbol{V}=\operatorname{ker} f \oplus f(\boldsymbol{V}) \) ist äquivalent zu \( \operatorname{ker} f=\operatorname{ker}(f \circ f) \).

(b) Sei nun speziell \( \boldsymbol{V} \) ein zweidimensionaler Unterraum von \( \boldsymbol{V}_{O} \). Gib mit Hilfe einer Skizze eine lineare Abbildung \( f \in \mathbf{L}(\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V}) \) an, die keine Projektion ist, wobei \( \{\boldsymbol{o}\} \neq \operatorname{ker} f=\operatorname{ker}(f \circ f) \neq \boldsymbol{V} \).
Bemerkung: In (a) darf die Voraussetzung über \( \operatorname{dim} \boldsymbol{V} \) nicht weggelassen werden.

Problem/Ansatz:

Answer 1

1. Es sei \(V= \ker f \oplus f(V)\). Dann ist insbesondere \(\ker f \cap f(V)= \{0\}\).

Die Beziehung \(\ker f \sube \ker(f \circ f)\) ist trivial. Sei umgekehrt \(x \in \ker (f \circ f)\). Dann ist \(f(x) \in \ker f \cap f(V)= \{0\}\), also \(f(x)=0\) bzw. \(x \in \ker f\).

2. Es sei \(\ker f = \ker(f \circ f)\). Dann gilt zunächst \( \ker f + f(V) \sube V\). Wi zeigen, dass die Summe direkt ist. Sei also \(x \in \ker f \cap f(V)\). Dann gilt:

$$f(x)=0 \text{ und } \exist y \in V: x=f(y) \Rightarrow 0=f(x) =f(f(y)) \Rightarrow x=f(y)=0$$

Aus dem Rangsatz wissen wir, dass die Dimension von Kern und Bild die Dimension von V ergebens, so dass insgesamt die behauptete Gleichung folgt.