Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum,Zeigen Sie, dass `l(V ) = dim(V ).

Question

ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Wir definieren l(V ) als die größte Zahl n ∈ N für die gilt, dass es eine Kette V₀ ⊂ V₁ ⊂ . . . ⊂ V_n von Untervektorräumen V_i ⊆ V gibt, bzw. l(V ) = ∞, falls es keine größte
solche Zahl gibt. Zeigen Sie, dass l(V ) = dim(V ).

ich wäre für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Entfernt man aus einer Basis von V nacheinander Basisvektoren, dann bekommt man Unervektorräume

        V_dim(V) ⊃ V_dim(V)-1 ⊃ V_dim(V)-2 ⊃ .... V₀

Somit ist n ≥ dim(V).

Ist n > dim(V), dann gibt es in V₀ ⊂ V₁ ⊂ . . . ⊂ V_n zwei Vektorräume V_i , V_i+1 mit dim(V_i) = dim(V_i+1). Wegen V_i ⊂ V_i+1 muss dann V_i = V_i+1 sein. Also kann n > dim(V) nicht sein.