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Gegeben:

p1(x)=x³-x+1

p2(x)=x³-1

p3(x)=x²-x

Wie zeige ich die Menge {p1,p2,p3) zu einer Basis von V?

Wenn man die allgemeine Schreibweise der Polynome von Vd hat,

Vd:= {p(x)=Ad*X^d + Ad-1*X^d-1 +.....+ A1*X+A0 Ad Element R}

wie zeige ich, dass die Monome: 1,x, x²,....x^d linear unabhängig sind in Vd

Und wie zeige ich die Dimension davon?

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Erster Teil:

Wie ergänze ich die Menge {p1,p2,p3) zu einer Basis von V?

Vgl. mein Kommentar hier

https://www.mathelounge.de/66657/berechne-polynome-grad-vektorraum-ihr-lineare-abhangigkeit?show=67014#c67014

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Antwort mit KI erzeugt

Zeigen, dass {p1,p2,p3} eine Basis von V bildet

Um zu zeigen, dass eine Menge von Polynomen \( \{p_1, p_2, p_3\} \) eine Basis eines Vektorraums \( V \) bildet, müssen wir nachweisen, dass diese Menge linear unabhängig ist und den Raum \( V \) aufspannt. Gegeben sind die Polynome:

- \( p_1(x) = x^3 - x + 1 \)
- \( p_2(x) = x^3 - 1 \)
- \( p_3(x) = x^2 - x \)

Da es hier spezifisch um den Nachweis der linearen Unabhängigkeit geht, konzentrieren wir uns darauf.

Eine Menge von Vektoren (in diesem Fall Polynome) ist linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren zum Nullvektor (hier das Nullpolynom) führt. Das bedeutet, wenn die Gleichung \(c_1p_1 + c_2p_2 + c_3p_3 = 0\) nur durch \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\) erfüllt ist, sind die Polynome linear unabhängig.

Setzen wir die Polynome in die Gleichung ein:

\(c_1(x^3 - x + 1) + c_2(x^3 - 1) + c_3(x^2 - x) = 0\)

Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme erhalten wir:

\((c_1 + c_2)x^3 + c_3x^2 + (-c_1 - c_3)x + (c_1 - c_2) = 0\)

Damit diese Gleichung für alle \(x\) erfüllt ist, müssen die Koeffizienten gleich Null sein:

- \(c_1 + c_2 = 0\)
- \(c_3 = 0\)
- \(-c_1 - c_3 = 0\)
- \(c_1 - c_2 = 0\)

Aus diesen Gleichungen folgt, dass \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\), was beweist, dass \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) linear unabhängig sind.

Allgemeine Schreibweise der Polynome in \(V_d\) und Linearität der Monome

Die allgemeine Form eines Polynoms in \(V_d\) ist:

\(p(x) = a_dx^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_1x + a_0\)

Die Monome \(1, x, x^2, \ldots, x^d\) sind offensichtlich Bestandteile jedes Polynoms in \(V_d\). Um zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind, nehmen wir an, es gibt eine Linearkombination dieser Monome, die Null ergibt:

\(c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0\)

Dies bedeutet, dass das Polynom für alle Werte von \(x\) identisch null ist. Für ein Polynom vom Grad \(d\), das identisch null ist, müssen alle Koeffizienten gleich Null sein (\(c_d = c_{d-1} = \ldots = c_1 = c_0 = 0\)). Daher sind die Monome \(1, x, x^2, \ldots, x^d\) linear unabhängig.

Dimension von \(V_d\)

Die Dimension eines Vektorraums wird durch die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums definiert. Da die Monome \(1, x, x^2, \ldots, x^d\) linear unabhängig sind und jedes Polynom in \(V_d\) eindeutig als Linearkombination dieser Monome ausgedrückt werden kann, bilden diese Monome eine Basis von \(V_d\). Die Anzahl der Basisvektoren (hier Monome) entspricht der Dimension des Raums. Da es \(d + 1\) Monome gibt (von \(x^0 = 1\) bis \(x^d\)), ist die Dimension von \(V_d\) gleich \(d + 1\).
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