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Zeigen, dass {p1,p2,p3} eine Basis von V bildet
Um zu zeigen, dass eine Menge von Polynomen \( \{p_1, p_2, p_3\} \) eine Basis eines Vektorraums \( V \) bildet, müssen wir nachweisen, dass diese Menge linear unabhängig ist und den Raum \( V \) aufspannt. Gegeben sind die Polynome:
- \( p_1(x) = x^3 - x + 1 \)
- \( p_2(x) = x^3 - 1 \)
- \( p_3(x) = x^2 - x \)
Da es hier spezifisch um den Nachweis der linearen Unabhängigkeit geht, konzentrieren wir uns darauf.
Eine Menge von Vektoren (in diesem Fall Polynome) ist linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren zum Nullvektor (hier das Nullpolynom) führt. Das bedeutet, wenn die Gleichung \(c_1p_1 + c_2p_2 + c_3p_3 = 0\) nur durch \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\) erfüllt ist, sind die Polynome linear unabhängig.
Setzen wir die Polynome in die Gleichung ein:
\(c_1(x^3 - x + 1) + c_2(x^3 - 1) + c_3(x^2 - x) = 0\)
Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme erhalten wir:
\((c_1 + c_2)x^3 + c_3x^2 + (-c_1 - c_3)x + (c_1 - c_2) = 0\)
Damit diese Gleichung für alle \(x\) erfüllt ist, müssen die Koeffizienten gleich Null sein:
- \(c_1 + c_2 = 0\)
- \(c_3 = 0\)
- \(-c_1 - c_3 = 0\)
- \(c_1 - c_2 = 0\)
Aus diesen Gleichungen folgt, dass \(c_1 = c_2 = c_3 = 0\), was beweist, dass \(p_1\), \(p_2\) und \(p_3\) linear unabhängig sind.
Allgemeine Schreibweise der Polynome in \(V_d\) und Linearität der Monome
Die allgemeine Form eines Polynoms in \(V_d\) ist:
\(p(x) = a_dx^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_1x + a_0\)
Die Monome \(1, x, x^2, \ldots, x^d\) sind offensichtlich Bestandteile jedes Polynoms in \(V_d\). Um zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind, nehmen wir an, es gibt eine Linearkombination dieser Monome, die Null ergibt:
\(c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0\)
Dies bedeutet, dass das Polynom für alle Werte von \(x\) identisch null ist. Für ein Polynom vom Grad \(d\), das identisch null ist, müssen alle Koeffizienten gleich Null sein (\(c_d = c_{d-1} = \ldots = c_1 = c_0 = 0\)). Daher sind die Monome \(1, x, x^2, \ldots, x^d\) linear unabhängig.
Dimension von \(V_d\)
Die Dimension eines Vektorraums wird durch die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums definiert. Da die Monome \(1, x, x^2, \ldots, x^d\) linear unabhängig sind und jedes Polynom in \(V_d\) eindeutig als Linearkombination dieser Monome ausgedrückt werden kann, bilden diese Monome eine Basis von \(V_d\). Die Anzahl der Basisvektoren (hier Monome) entspricht der Dimension des Raums. Da es \(d + 1\) Monome gibt (von \(x^0 = 1\) bis \(x^d\)), ist die Dimension von \(V_d\) gleich \(d + 1\).
