Lösen der einer Gleichung mit Brüchen und "hoch"

Question

Aufgabe:

Löse die Gleichung $$x-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6}=0$$

Problem/Ansatz:

Kann man diese Gleichung exakt lösen, also ohne die Anwendung von Näherungsverfahren? über einen Tipp (bitte keine vollständige Lösung) wäre ich sehr dankbar.

Comments

Ja: \(x_1=\frac 14\), \(x_2=\frac 12(2 + \sqrt 3)\)

~plot~ x-2*x^(3/2)/3-1/6;[[-0.5|4|-1|1]];{1/4|0};{(2+sqrt(3))/2|0} ~plot~

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Die Lösung kenne ich bereits von Mathematica. Aber ich kann sie nicht "von Hand" lösen. Das ist mein Problem

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Substituiere \(x = z^2\) und dann benutze die Cardanischen Formeln.

Answer 1

Substitution;

x^(1/2) =z

z^2- 2/3 z^3- 1/6 = 0

z^3-3/2*z^2+ 1/4 = 0

Mit der Cardanoformel könnte man das lösen.