Zeigen Sie, dass U:={id,τ} eine Untergruppe von Sn ist.

Question

(a) Berechnen Sie in \( S_{5} \) die Verknüpfung
$$ \left(\begin{array}{lllll} {1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ {4} & {2} & {5} & {3} & {1} \end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll} {1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ {2} & {2} & {5} & {3} & {1} \end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{lllll} {1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ {2} & {4} & {1} & {5} & {3} \end{array}\right) $$
(b) Bestimmen Sie das Inverse von
$$ \left(\begin{array}{llllll} {1} & {2} & {3} & {4} & {5} & {6} \\ {2} & {4} & {6} & {1} & {3} & {5} \end{array}\right) \in S_{6} $$
(c) Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( i, j \in\{1, \ldots, n\} \) mit \( i \neq j . \) Sei \( \tau \in S_{n} \) die Permutation
$$ \tau(i)=j, \quad \tau(j)=i, \quad \tau(x)=x \text { für } x \neq i, j $$
Zeigen Sie, dass \( U:=\{\mathrm{id}, \tau\} \) eine Untergruppe von \( S_{n} \) ist.

Die c ist mir nur wichtig

Answer 1

Untergruppenkriterium:
\( U \neq \{\}\)
\(id^{-1}\in U; \tau^{-1}=\tau \in U\)
\( \tau \circ id =id \circ \tau = \tau \in U\)