untergruppe von Sn lineare algebra1

Question

hallo ich brauche hilfe

wir haben Sn die Menge aller Permutationen von (1,2,...,n). wir müssen zeigen über den Gruppenhomomorphismus sgn:(Sn,◦)→({1,−1}σ→sgn(σ) dass

i)An:={σ∈Sn|sgn(σ)=1} ist eine Untergruppe von Sn.

ii) es gilt π◦σ◦π−1∈An ,für alle σ∈An und π∈Sn.

   

Answer 1

\(sgn\) ist ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist
\(A_n\) als Kern dieses Homomorphismus eine Normalteiler von \(S_n\),
insbesondere also eine Untergruppe.
Da \(A_n\) sogar Normalteiler von \(S_n\) ist, gilt
\(\pi A_n \pi^{-1}=A_n\) für alle \(\pi \in S_n\), also die Behauptung von b).