Zeige, dass die rekursive Folge gegen die Gleichung a^2=2 konvergiert

Question

Rekursive Folge:

\( a_{1}=100, \quad a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{2}{a_{n-1}}\right) \quad \) für \( n>1 \)

Zeigen Sie handschriftlich, dass die rekursive Folge gegen eine Lösung der Gleichung a2 = 2 konvergiert.

Ich glaube die Fixpunkt-Iteration soll dafür genutzt werden.

Answer 1

Hi,

ein kleiner Tipp..

für große n ist a_n und a_n-1 annähernd gleich.. d.h. sie haben den selben Grenzwert..

Grüße

Comments

Leider hilft mir das aber noch nicht weiter! Ich versuche mich die ganze Zeit mit der Fixpunkt-Iteration aber ich bin da leider echt ins Hintertreffen gelandet.

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Okay kein Problem..

nennen wir den Grenzwert von an für n→∞ = a

dann ist für n →∞ a=1/2(a+2/a) wenn man jetzt mit 2 durchmultipliziert und nach a auflöst

erhält man  a²=2..

Da du mit dem Startwert a₁=100 anfängst muss die Folge also fallend gegen den Grenzwert a=2^0,5 konvergieren

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Ok, danke! Damit komme ich der Sache näher. Nur, wie kommt man auf das "mit 2 durchmultiplizieren"?

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Du willst ja das a auf einer Seite haben..

also die Gleichung mit 2 auf jeder Seite durchmultiplizieren dann verschwindet das 1/2 und man kann das a auf die andere Seite holen..

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*handpalm*

Ist mir das peinlich!

Ok

Entspricht diese Berechnung denn nun der Fixpunkt-Iteration?

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Also mein Problem ist, dass ich das ganze mit der Fixpunktiteration zeigen soll. Egal was, wo und wie ich darüber lese, ich komme hier nicht weiter.

Mit der Fixpunktiteration kann ja zu einer Funktion die Nullstelle gefunden werden. Genauso kann auch jede andere Schnittstelle (also zu einer zweiten Funktion) gefunden werden. Mein Problem ist aber, dass ich keine Funktion habe sondern eine rekursive Folge.

Ist mir noch zu helfen? ;)