rekursive folge konvergiert → es ex. ein b ≥ 1 mit x=b1/b

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe bei der ich leider überhaupt nicht weiter weiß...

Sei x ≥ 1 und (a_n)_n∈N ⊂ R gegeben durch a₀:=1 und an:=x^a_n^-1 für n∈N. Zeigen Sie

i) (a_n)_n∈N konvergiert genau dann, wenn ein b ≥ 1 mit x=b^1/b existiert.

ii) Daraus folgt dann lim _n->inf a_n=min{b≥1|x=b^1/b}

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keinen Ansatz zu dieser Aufgabe. Ich dachte das man die Aussage eventuell mit Hilfe des Grenzwerts zeigen kann, bin aber leider nicht weiter gekommen. Ich wäre für jede Hilfe mehr als dankbar.

LG Zahlenwilli

Answer 1

Das heißt wohl so $$a_n=x^{a_{n-1}}$$

Und wenn nun a_n den Grenzwert b hat für n gegen ∞, dann gilt ja

                b = x^b ==>    b^(1/b) = x