Beweisen Sie, dass für 0≤n≤5 und 0≤k≤n gilt:

Question

Für natürliche Zahlen \( 0 \leq k \leq n \) sei
$$ \left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right):=\frac{n !}{k !(n-k) !} $$
Beweisen Sie, dass für \( 0 \leq n \leq 5 \) und \( 0 \leq k \leq n \) gilt:
$$ \left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {k} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {n-1} \\ {k-1} \end{array}\right) $$

Answer 1

Aloha :)

Ordne die Binomialkoeffizienten als sog. Pascal-Dreieck und berechne ihre Werte nach der Formel \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Aus dem Dreieck kannst du dann ablesen, dass der Wert eines Binomialkoeffienten immer die Summe der beiden über ihm stehenden ist. Und genau das ist die zweite Formel: \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\).

$$\begin{array}{c}\binom{0}{0}\\\binom{1}{0} \binom{1}{1}\\\binom{2}{0} \binom{2}{1} \binom{2}{2}\\\binom{3}{0} \binom{3}{1} \binom{3}{2} \binom{3}{3}\\\binom{4}{0} \binom{4}{1} \binom{4}{2} \binom{4}{3} \binom{4}{4}\\\binom{5}{0} \binom{5}{1} \binom{5}{2} \binom{5}{3} \binom{5}{4} \binom{5}{5}\end{array}\quad\begin{array}{c}1\\1\;\;1\\1\;\;2\;\;1\\1\;\;3\;\;3\;\;1\\1\;\; 4\;\;6\;\;4\;\;1\\1\;\;5\;\,10\;10\,\;5\;\;1\end{array}$$

Answer 2

Beweisen Sie, dass für 0 ≤ n ≤ 5 und 0 ≤ k ≤ n gilt

Das sind endlich viele Möglichkeiten, n und k zu belegen.

Rechne \(n \choose k\) und \({n-1 \choose k} + {n-1 \choose k-1}\) für jede dieser Möglichkeiten aus und vergleiche.