Halbwertzeit berechnen.....

Question

Aufgabe:

Eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Zerfallsgesetz N(t) = N₀  • e^(-λt) (t≥0). Für das Element Radon 222 über 86 Rn besitzt die Zerfallskonstante λ den Wert λ = 2,0974 * 10^(-6) s^(-1). Berechnen Sie die Halbwertzeit τ.

Dieses "tau", warum benutzt man das?

Ansatz:

e^(-λt) = 0,5 | ln

-λ * t = ln(0,5) |So jetzt darf ich nicht teilen, weil lambda ansonsten null sein kann.

????

Answer 1

Aloha :)

Nach der Halbwertszeit \(T_H\) oder auch \(\tau\) ist nur noch die Hälfte der Substanz vorhanden:

$$\left.\frac{1}{2}N_0=N(T_H)=N_0\cdot e^{-\lambda T_H}\quad\right|\,:N_0$$$$\left.\frac{1}{2}=e^{-\lambda T_H}\quad\right|\,\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\lambda T_H\quad\right|\,:(-\lambda)$$$$\left.T_H=\frac{1}{-\lambda}\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{-\lambda}(\ln1-\ln2)=\frac{\ln2}{\lambda}\quad\right|\,\lambda=2,0974\cdot10^{-6}s^{-1}\text{ einsetzen}$$$$T_H=\frac{\ln2}{\lambda}=330\,479\,s=3,825\,\text{Tage}$$

Comments

Die Frage ist nur warum kommt nicht das selbe raus wenn ich ln (0,5) / -λ?

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Weil du auf dem Taschenrechner falsch tippst?

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aber warum rechnet ihr nicht so? Ihr stellt es noch um??

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Mein Mathe-Lehrer in der Schule hat mir beigebracht, ein Ergebnis immer mit so wenigen Zeichen wie nötig zu schreiben, wobei Klammern nicht als Zeichen zählen. Das ist irgendwie hängengeblieben:$$T_H=\frac{-\ln(0,5)}{-\lambda}=\frac{\ln2}{\lambda}$$Schau mal, wie viele überflüssige Zeichen die erste Variante hat. Für das erste Ergebnis hätte ich damals Punktabzug bekommen. Das zweite wäre "richtig" gewesen ;)

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aber warum rechnet ihr nicht so? Ihr stellt es noch um??

Diese Marotte stammt noch aus einer Zeit in der man Logarithmen aus Logarithmentafeln ablesen musste und diese noch nicht mit dem TR berechnen konnte.

ln(0.5) war damals in den Tabellen aber nicht verzeichnet weil man ja einfach -ln(2) ablesen konnte.

Vielleicht ist dir auch schonmal aufgefallen dass √27 auch oft als 3·√3 geschrieben wird. Das hat einen sehr ähnlichen Grund. √27 fand man damals nicht in den Wurzeltabellen wohl aber √3.

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Für diese Gleichheit gibt's zu Recht Punktabzug.

Answer 2

Dieses "tau", warum benutzt man das?

Weil man der Halbwertszeit irgendwie einen schönen kurzen Namen geben wollte. Und Mathematiker haben irgendwie eine Leiderschaft für griechische Buchstaben. Was meinst du warum Winkel gerne mit α, β und γ bezeichnet werden.

-λ * t = ln(0,5) |So jetzt darf ich nicht teilen, weil lambda ansonsten null sein kann.

Die Zerfallskostante kann nicht 0 sein. Was wäre das dann für ein Zerfall?

-λ * t = ln(0,5) = ln(2^{-1}) = -ln(2)

λ * t = ln(2)

t = ln(2) / λ

Comments

Die Frage ist nur warum kommt nicht das selbe raus wenn ich ln (0,5) / -λ?

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Die Frage ist nur warum kommt nicht das selbe raus wenn ich ln (0,5) / -λ?

Hast du ein Beispiel. Sollte eigentlich genau dasselbe heraus kommen.

Vorausgesetzt es wurde richtig gerechnet.

t = LN(2)/(2.0974·10^(-6)) = 3.305·10^5 s = 3.825 Tage

Answer 3

Hallo.

N(t)= N₀ e^(-λ t)

N₀/2= N₀ e^(-λ t)

1/2= e^(-λ t)

t  = ln(2)/λ ≈ 0.33 *10^6 s