Binomialverteilung oder hypergeometrische Verteilung

Question

Liebe Lounge,

beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer großen Grundgesamtheit (Bevölkerung eines Landes, alle Hunde eines Landes, Jugendliche eines Landes etc.) darf man ja die Binomialverteilung benutzen.

Bei kleineren Grundgesamtheiten, wie z.b. 25, 50 oder auch 100 liefert die Binomialverteilung für ein Ziehen ohne Zurücklegen eine nur sehr schlecht angenäherte oder gar falsche Wkeit.

In diesem Fall muss man die hypergeometrische Verteilung benutzen, um die W keit zu berechnen.

Jetzt zu meinem Beispiel:

Seien in einer Urne 10.000 Kugeln, davon 6.000 schwarze und 4.000 weiße Kugeln. Es wird dreimal ohne zurücklegen gezogen. X sei die Anzahl an schwarzen Kugeln.

Wenn jetzt die W keit für P(X=3) berechnet werden soll, dann komme ich natürlich mit der hypergeometrischen Verteilung auf das richtige Ergebnis von rund 21,6%.

Da sich bei dieser Größe der Grundgesamtheit die Trefferwahrscheinlichkeit der einzelnen Stufen aber nur sehr gering ändert, sodass wir beispielsweise beim Runden auf zwei Nachkommastellen keinen Unterschied feststellen, liefert auch die Binomialverteilung für P(x=3) ein Ergebnis von rund 21,6%.

Wenn man also eine solche Aufgabe (ausreichend große Grundgesamtheit) in einem Grundkurs löst, kann man doch guten Gewissens beide Verteilung benutzen, da die Zufallsgröße (annähernd) als binomialverteilt angesehen werden kann. Sprich: bei diesen Gegebenheiten verhält sich die Zufallsgröße X bereits sehr ähnlich, wie bei "die ganze Bevölkerung" oder "alle Jugendlichen"...

Liebe Grüße und vielen Dank.

Kombinatrix

Answer 1

Faustformel:

Im Gegensatz zur Binomialverteilung werden bei der hypergeometrischen Verteilung die Stichproben nicht wieder in das Reservoir zur erneuten Auswahl zurückgelegt. Ist der Umfang n {\displaystyle n} n der Stichprobe relativ klein (etwa n / N < 0 , 05 {\displaystyle n/N<0{,}05} n/N<0{,}05) im Vergleich zum Umfang N {\displaystyle N} N der Grundgesamtheit, unterscheiden sich die durch die Binomialverteilung bzw. die hypergeometrische Verteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten nicht wesentlich voneinander. In diesen Fällen wird dann oft die Approximation durch die mathematisch einfacher zu handhabende Binomialverteilung vorgenommen.