Amortisationsrechnung nach Kapitalwertmethode

Question

Aufgabe:

Hi, ich soll errechnen ab wann eine Investition amortisiert ist. Soweit ich das verstehe mit der Kapitalwertformel. Gegeben ist ein Kalkulationszinssatz, eine Anfangszahlung und konstante Überschüsse. Bei uns sieht die Formel wie folgt aus:

KW= -Ü₀ + Ü_j * \( \frac{q^n-1}{i*q^n} \)

Problem/Ansatz:

Irgendwie sieht die Kapitalwertformel nur in unserem Heft so aus, ich finde sie im Netz eigentlich nirgends so. Soweit ich da verstehe, setze ich den KW 0 und versuche dann nach n umzustellen. Hier komme ich aber nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?

Grüße

Answer 1

nur in unserem Heft so aus, ich finde sie im Netz eigentlich nirgends so

Du solltest die Möglichkeit nicht völlig ausschliessen, dass das was im Unterricht kommt vielleicht valider sein könnte als das was Du irgendwo googelst. Man findet die genannte Formel z.B. unter https://de.wikipedia.org/wiki/Annuitätendarlehen#Bestimmung_der_Annuität (Umstellen nach Kreditsumme) oder unter https://de.wikipedia.org/wiki/Kapitalwert#Berechnung (den Term mit L kannst Du weglassen, weil es hier keinen Liquidationserlös gibt) oder auch in Eurem Heft.

Bei meinem ersten Link findest Du auch die Formel für die Amortisationsdauer n = ...

Comments

Klar die fertig umgestellte Formel finde ich schon, nur möchte ich es ja selber umformen und da komme ich nicht weiter wenn ich die beiden Variablen vor dem Bruch nach links gebracht habe. Wenn ich dann mit dem Nenner multipliziere, komm ich auch nicht richtig weiter weil ich ja zweimal die Potenz mit n im Term habe.

(Ich habe nie behauptet dass das was wir bekommen falsch ist, nur ist es halt einfacher wenn ich nach der allgemeinen Formel suchen kann, die alle anderen auch verwenden)

Grüße

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Die Gleichung kann man schon nach n umstellen. Weißt Du, was ein Logarithmus ist?

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Ja das weiß ich. Wenn der Exponent gesucht wird nutzt man den Logarithmus. Aber um zum Logarithmieren zu kommen muss ich ja erstmal die Formel soweit haben, dass ich die q's irgendwie unter Kontrolle bekomme :-). Ich bin soweit gekommen:

$$ \frac{\ddot{\mathrm{U}}_{0} \cdot\left(i \cdot q^{n}\right)}{\ddot{\mathrm{U}}_{j}}-q^{n}=-1 $$

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KW = -Ü₀ + Ü_j * \( \frac{q^n-1}{i*q^n} \)  = 0

Ü₀ = Ü_j * \( \frac{q^n-1}{i*q^n} \)

Ü₀ = Ü_j * (\( \frac{q^n}{i*q^n} \) -\( \frac{1}{i*q^n} \))

Ü₀ = Ü_j * (\( \frac{1}{i} \) -\( \frac{1}{i*q^n} \))

Ü₀ = Ü_j * \( \frac{1}{i} \)* (1 - q^-n)

1 -  Ü₀ i / Üj  = q^-n

Answer 2

Du konntest für diese Zwecke einfach die Rentenbarwertformel nehmen.

Der Rentenbarwert muss in diesem Fall genau der anfänglichen Auszahlung entsprechen.

Bn = R·(q^n - 1) / ((q - 1)·q^n)

die Formel nach n aufgelöst steht in den meisten Finanzmathematischen Formelsammlungen drin.

n = LN(R/(R - Bn·(q - 1))) / LN(q)

Also R ist dabei deine konstante Überschussrate und Bn ist der Rentenbarwert bzw. deine Anfängliche Auszahlung Ü0.

Bei bedarf kannst du in der Formel auch direkt die Variablennamen austauschen.

Ich helfe mal bei Umformen:
Bn = R·(q^n - 1) / ((q - 1)·q^n)
Bn = R·(1 - q^(-n)) / (q - 1)
Bn·(q - 1)/R = 1 - q^(-n)
q^(-n) = 1 - Bn·(q - 1)/R
-n = LN(1 - Bn·(q - 1)/R)/LN(q)
n = -LN(1 - Bn·(q - 1)/R)/LN(q)