Prädikatenlogik (Frage zur Erfüllbarkeit und Relationen)

Question

bei der Prädikatenlogik kann man ja Universen angeben, die die Werte für x,x',.. sind und Relationen.

Die Relationen geben an, was für diese Werte gelten muss ja?

Wie schreibt man diese auf R(x,y) und dann zum Beispiel x soll kleiner als y sein.

Dann ist diese Relation nur erfüllt, wenn diese Bedingung Werte ausliefert, also eine Menge, ja?

Also muss eine Relation eine Menge ausgeben?

Wenn diese leer ist, ist die Relation sozusagen, falsch und nicht erfüllt?

Und wie kann man Implikationen auffassen in der Aussagenlogik gilt ja 1 -> 0 heißt falsch.

Answer 1

Ist M das Universum, dann ist eine Relation über M eine Teilmenge des Kreuzproduktes von M.

Eine einstellige Relation ist also eine Teilmenge von M, eine zweistellige ist Teilmenge von M×M, eine dreistellige ist Teilmenge von M×M×M, etc.

Wenn G ein dreistelliges Relationssymbol ist, dann schreibt man üblicherweise

        G(a,b,c)

anstatt (a,b,c) ∈ G. Bei zweistelligen Relationen, insbesondere Ordnungsrelationen, wird auch die Infixnotation verwendet, also

        a G b.

Beispiel. Die Formel

        ∀ x ∃ y K(x,y)

ist erfüllt durch die rationalen Zahlen mit K ↦ {(a,b) ∈ ℚ² | a < b}. Sie ist auch erfüllt durch die natürlichen Zahlen mit K ↦ ℕ×ℕ, aber nicht durch die natürlichen Zahlen mit K ↦ {(a,b) ∈ ℕ² | a < b}.

Die Formel kann auch

        ∀ x ∃ y (x,y) ∈ K

oder

        ∀ x ∃ y xKy

geschrieben werden.

Also muss eine Relation eine Menge ausgeben?

Was meinst du mit ausgeben? Eine Relation ist eine Menge.

Wenn diese leer ist, ist die Relation sozusagen, falsch und nicht erfüllt?

Die Relation ist weder wahr, noch falsch. Die Formel kann wahr oder falsch sein.

Und wie kann man Implikationen auffassen in der Aussagenlogik gilt ja 1 -> 0 heißt falsch.

Die Junktoren haben in der Prädikatenlogik die gleiche Semantik wie in der Aussagenlogik.