Koffeinabbaurate Differentialgleichung. Finde die Anfangswertaufgabe.

Question

Aufgabe:

Tim hat soeben eine Tasse mit 70mg Koffein getrunken. Die momentane Abbaurate zu jedem Zeitpunkt ist 30% des vorhanden Koffeins.

Finde die Anfangswertaufgabe.

Also ich würde so vorangehen

dc/dt=-k*c

Comments

Du hast nicht definiert was c und was k sein sollen.

Answer 1

Aloha :)

Die Differentialgleichung lautet mit Anfangsbedinung:$$c'(t)=\frac{dc(t)}{dt}=-0,3\cdot c(t)\quad;\quad c(0)=70$$Als Lösung findest du:$$\frac{c'(t)}{c(t)}=-0,3$$$$\ln|c(t)|=-0,3\cdot t+a\quad;\quad a=\text{const}$$$$c(t)=e^{-0,3\,t+a}=e^a\cdot e^{-0,3\,t}=b\cdot e^{-0,3\,t}\quad;\quad b:=e^{a}=\text{const}$$Die Konstante \(b\) folgt aus der Anfangsbedingung:$$70=c(0)=b\cdot e^{-0,3\cdot0}=b$$Schließlich haben wir als Lösung der DGL:

$$c(t)=70\cdot e^{-0,3\,t}$$

Comments

Hallo

 ich halte diese Lösung für falsch 30% Abbaurate heisst dass 30% des Medikamentes abgebaut werden, also 70% bleiben, deshalb  ist die Dgl dc/dt=0,7c oder dc/dt=c-0,3c

Gruß lul

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Aloha lul :)

Du hast Recht, dass nach einem Zeittick 70% der Konzentration übrig bleibt. Das beudetet für den Differenzenquotienten:$$\frac{\Delta c}{\Delta t}=\frac{c(t+1)-c(t)}{(t+1)-t}=\frac{0,7c(t)-c(t)}{1}=-0,3c(t)$$

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Hallo

du hast recht! mein Fehler, danke

lul

Answer 2

Hallo

 das ist richtig, wenn du das zur Aufgabe gehörige c einsetzt. und weisst dass 30% Abbau auch 70% bleibt heisst.

allerdings ist nicht gesagt ob das 30% pro s oder Min oder h ist d,h in welchen Einheiten dann den t ist.

Gruß lul

Comments

Es steht nur, dass die momentane zu Abbaurate zu jedem Zeitpunkt  30% des vorhanden Wirkstoffes ist.

Bedeutet das, dass k=0.3 ist?