Die duale Basis besteht ja jedenfalls aus Linearformen, das sind also
Abbildungen von V in den Grundkörper K , die also im Falle von V=R^3
so funktionieren, das jedem (x,y,z) ein Element aus K zugeordnet wird
und weil die Abb. L linear ist sieht das im Prinzip so aus, dass das zu (x,y,z)
zugeordnete Element berechnet wird durch L(x,y,z) = a*x + b*y + c*z
und die a,b,c bestimmen eindeutig die Linearform. Das kann man vektoriell
auch so schreiben
$$L(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$
und * bedeutet hier das Skalarprodukt.
Nun hast du ja 3 Vektoren v1,v2,v3 gegeben und der erste aus der dualen Basis ( sagen wir mal L1) muss ja die
Bedingung erfüllen L1(v1)=1 und L1(v2)=0 und L1(v3)=0
und das bedeutet in Matrixschreibweise (zur Bestimmung von a,b,c)
\begin{pmatrix} 0 & 1 &0\\ 0 & 1&3\\2 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix}
und wenn für den 2. dualen Basisvektor statt a.b.c dann d,e,f, genommen werden und für den
dritten vielleicht g,h,i sieht das zusammengefasst so aus :
\begin{pmatrix} 0 & 1 &0\\ 0 & 1&3\\2 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a&d&g\\b&e&h \\c&f&i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1 \end{pmatrix}
Also sind a,b,c aus der ersten Spalte der inversen Matrix ablesbar etc.
Und bei eurer Lösung hat halt nur jemand konsequent Zeilen und Spalten vertauscht,
was natürlich auch geht.
