0 Daumen
2,1k Aufrufe

Aufgabe:

Ich habe drei unabhängige Vektoren (0,1,0,) (0,1,3) (2,0,1) aus dem Vektorraum gegeben. Jetzt muss hierfür die Dualbasis gefunden werden. Unsere Lösung im Tutorium wurde gefunden indem man

002

110

031

invertiert und dann die Zeilen für f1 f2 und f3 was die Dualbasis ist nimmt 


Problem/Ansatz:

Ich versuche nun seid über zwei Wochen den Zusammenhang von den Vektoren in V mit der Dualbasis zu verstehen. Es wäre so unglaublich nett wenn mir jemand den Zusammenhang erklären könnte und warum das oben beschriebene Vorgehen zur Lösung führt.

Vielen Dank

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Die duale Basis besteht ja jedenfalls aus Linearformen, das sind also

Abbildungen von V in den Grundkörper  K , die also im Falle von V=R^3

so funktionieren, das jedem (x,y,z) ein Element aus K zugeordnet wird

und weil die Abb. L linear ist sieht das im Prinzip so aus, dass das zu (x,y,z)

zugeordnete Element berechnet wird durch L(x,y,z) = a*x + b*y + c*z

und die a,b,c bestimmen eindeutig die Linearform. Das kann man vektoriell

auch so schreiben

$$L(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

und * bedeutet hier das Skalarprodukt.

Nun hast du ja 3 Vektoren v1,v2,v3 gegeben und der erste aus der dualen Basis ( sagen wir mal L1) muss ja die

Bedingung erfüllen L1(v1)=1 und L1(v2)=0 und L1(v3)=0

und das bedeutet in Matrixschreibweise (zur Bestimmung von a,b,c)

\begin{pmatrix} 0 & 1 &0\\ 0 & 1&3\\2 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a\\b \\c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix}

und wenn für den 2. dualen Basisvektor statt a.b.c dann d,e,f, genommen werden und für den

dritten vielleicht g,h,i sieht das zusammengefasst so aus :

\begin{pmatrix} 0 & 1 &0\\ 0 & 1&3\\2 & 0 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a&d&g\\b&e&h \\c&f&i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \\0&0&1 \end{pmatrix}

Also sind a,b,c aus der ersten Spalte der inversen Matrix ablesbar etc.

Und bei eurer Lösung hat halt nur jemand konsequent Zeilen und Spalten vertauscht,

was natürlich auch geht.

Avatar von 289 k 🚀

vielen vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Ich habe es fast verstanden. Nur als kleine Frage noch wie komme ich auf die Matrixschreibweise zur Bestimmung von abc. Ich glaube mir ist hier der Zusammenhang von den Koordinatenwerten und den Basisvektoren nicht ganz klar.

L1(v1)=1

heißt doch   a*0 + b*1 + c*0  = 1

und L1(v2)=1 heißt    a*0 + b*1 + c*3  = 0

und L1(v3)=0 heißt    a*2 + b*0 + c*0  = 0

Diese 3 Gleichungen zusammen ergeben die

Matrixschreibweise für a,b,c.

Alles klar!! habe ich verstanden. Vielen Dank

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community