Homomorphiesätze und Äquivalenzrelationen

Question

Aufgabe (ganze Zahlen):

Für \( (m, s),(n, t) \in \mathbb{N}_{0} \times \mathbb{N}_{0} \) gelte genau dann \( (m, s) \equiv(n, t) \), wenn \( m+t=n+s \) ist.

(a) Zeigen Sie, dass \( \equiv \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb{N}_{0} \times \mathbb{N}_{0} \) ist und dass \( \left(\mathbb{N}_{0} \times \mathbb{N}_{0}\right) / \equiv \rightarrow \mathbb{Z},[(m, s)] \mapsto m-s \) eine wohldefinierte Bijektion ist.

Answer 1

Allgemein gilt für eine Äquivalenzrelation Reflexivität, Symmetri und transitivität, das gilt es nachzuprüfen, also:

i) (m,s)≡(m,s), klar, da m+s=m+s

ii) (m,s)≡(n,t)⇒(n,t)≡(m,s) ebenso klar

iii) (m,s)≡(n,t) und (n,t)≡(k,p) ⇒ (m,s)≡(k,p), also m+t=n+s und n+p=t+k ⇒ m+k=p+s einfach einsetzen

Für die Wohldefiniertheit muss gezeigt werden, dass aus (m,s)≡(n,t) ⇒ m-s=n-t

Für die Bijektion fehlt noch Surjektivität und injektivität