Vollständige Induktion Summengleicheung

Question

Aufgabe:

Zeigen sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit folgender Gleichung:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) k2^k = (n-1)2ⁿ⁺¹+2

Problem/Ansatz:

Ich habe nun folgendes gemacht:

Induktionsanfang : n₀=1

\( \sum\limits_{k=1}^{1}{} \) k2^k = (1-1)2²+2

2=2 ✓

Induktionsannahme:

∋ n ∈ℕ : \( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) k2^k = (n-1)2ⁿ⁺¹+2

Induktionsvoraussetzung:

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{} \) k2^k = (n+1-1)2ⁿ⁺¹⁺¹+2 = n2ⁿ⁺²+2

Induktionsschritt :

\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{} \) k2^k = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{} \) k2^k+ (n+1)2ⁿ⁺¹

n2ⁿ⁺²+2 = (n-1)2ⁿ⁺¹+2+(n+1)2ⁿ⁺¹

----> n2ⁿ⁺²+2 ≠ n2²ⁿ⁺²+2

Also mein Problem besteht darin dass ich die Gleichung irgendwie nicht gelöst bekomme.

Hab ich irgendwo einen Rechenfehler oder Folgefehler den ich vlt nicht erkenne?

Answer 1

Hallo

du hast

$$ 2^{n+1}*(n-1)+2+2^{n+1}*(n+1) =2^{n+1}*(n-1+n+1)+2=....$$

ausklammern hilft bei solchen Rechnungen sehr oft.

Gruß lul

Comments

ich verstehe gerade nicht ob sie nur die rechte seite angeschaut haben oder ob beiden seiten bei Ihnen beachtet wurden .

Aber ich glaube ich habe den Ansatz verstanden.

Dankeschön