Aufgabe:
Habe ich hier die Fragestellung mittels Induktion korrekt gelöst?
Text erkannt:
Wir definieren die Folge \( \left(a_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}_{0}} \) wie folgt:
\( a_{0}=1, a_{1}=3 \), und allgemein für \( i \in \mathbb{N}_{0} a_{i+2}=6 \cdot a_{i+1}+72 \cdot a_{i} \)
Zeigen Sie mittels Induktion nach \( i \in \mathbb{N}_{0} \), dass die folgende Bedingung (*) für alle \( i \in \mathbb{N}_{0} \) erfült ist
\( a_{i} \leq 12^{i} \quad(*) \)
Gliedern Sie den Induktionsbeweis entsprechend den Tutoraufgaben.
1. Judultionganfang
\( \begin{array}{l} a_{0}=1 \rightarrow a_{0} \leqslant 12^{0}=1 \\ a_{1}=3 \rightarrow a_{1} \leqslant 12^{1}=12 \end{array} \)
2. Juduktionschitt: Sai \( k \in \mathbb{N} \) belieby aber im coiter foot
3. Indultiongrorcastsedium: Sei \( k \in N \)
\( \text { dann silt } a_{k} \subseteq 12^{k} \)
4. Induktion behauptiy: Dann sitt das arch für \( k+2 \) also \( a_{k+2} \leq 12^{k+2} \)
5. Induktiongevers: Sobe IV in glacky ais
\( \begin{aligned} a_{k+2} & =6 \cdot a_{k+1}+72 \cdot a_{k} \\ & =6 \cdot 12^{k+1}+72 \cdot 12^{k} \\ & =6 \cdot 12^{1} \cdot 12^{k}+72 \cdot 12^{k} \\ & =22 \cdot 12^{k}+72 \cdot 12^{k} \\ & =144 \cdot 12^{k} \\ & =12^{2} \cdot 12^{k} \\ & =12^{k+2} \end{aligned} \)
