Wie leite ich diese gebrochene Funktion ab? f(x) = (x²-6x-4)/(x-3)²

Question

wie sehen die zwischenschritte aus um auf das Ergebnis zu kommen?

f(x) = (x²-6x-4)/(x-3)²

f`(x) = 20 / (x-3)³  <- wie komme ich hier auf die glatten 20?

Danke

Answer 1

Hi,

das sind nicht 20, sondern 26 ;).

f(x) = (x^2-6x-4)/(x-3)^2

Quotientenregel

f'(x) = ((2x-6)(x-3)^2 - 2(x-3)(x^2-6x-4))/(x-3)^4 = ((2x-6)(x-3) - 2(x^2-6x-4))/(x-3)^3

Zähler: 2x^2-6x-6x+18 - 2x^2+12x+8 = 26

--> f'(x) = 26/(x-3)^3

Grüße

Comments

f'(x) = ((2x-6)(x-3)2 - 2(x-2)(x2-6x-4))/(x-3)4 = ((2x-6)(x-3) - 2(x2-6x-4))/(x-3)3

muss anstatt von 2(x-2) nicht 2(x-3) stehen?

Wenn ich (x-3)² ableite  anhand der Regel x^n = n*x^n-1

egal ob -2 oder -3 wiee komme ich dann auf disen Ausdruck? 2(x²-6x-4)

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Yop ein Tippfehler. Ist ausgebessert ;).

(x-3)^2 bedarf der Kettenregel.

Demnach ist ((x-3)^2)' = 2(x-3)

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Das Resultat von Unknown ist ok. Vgl auch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+%28x²-6x-4%29%2F%28x-3%29²

Ausser du hättest tatsächlich nur die 4 über dem Bruchstrich gehabt.

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f'(x) = ((2x-6)(x-3)2 - 2(x-3)(x2-6x-4))/(x-3)4 = ((2x-6)(x-3) - 2(x2-6x-4))/(x-3)3

 

Wie komme ich denn jetzt an diie Umformung von dem jeweils in rot markierten Term?

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Ein Ausklammern von (x-3) und kürzen desselben. Da war ich vielleicht einen Schritt zu schnell. Schau her:

((2x-6)(x-3)² - 2(x-3)(x²-6x-4))/(x-3)⁴ = ((x-3)((2x-6)(x-3) - 2(x²-6x-4)))/(x-3)⁴ =  ((2x-6)(x-3) - 2(x²-6x-4))/(x-3)³

 

Der rote Teil ist der, der ausgeklammert und gekürzt wird. Der orangene Teil ist was über bleibt, da es quadratisch vorkommt. Der grüne Teil ist in ersten beiden Teilen der ungekürzte Teil. 4te Potenz. Erst nach dem Kürzen haben wir eine 3te Potenz ;).

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(2x-6)(x-3)2 - 2(x-3)(x2-6x-4))/(x-3)4

= ((x-3)((2x-6)(x-3)² - 2(x2-6x-4)))/(x-3)4 <- muss hier nicht noch das Qudrat stehen ich kürze doch erst zum Schluss die (x-3)^2 mit dem Nenner (x-3)^4 Oder??

=  ((2x-6)(x-3) - 2(x2-6x-4))/(x-3)3

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Nein, ich habe ausgeklammert.

(x-3) steht jetzt vor der Klammer.


Das ist das gleiche wie bei

3x^2-2x

x ausklammern bedeudet:

x(3x-2)


Verstanden? ;)