Der "offensichtliche" Weg ist, die Eigenschaften von \(\mathbb{R}\) zu nutzen, nämlich dass Suprema eindeutig sind. In diesem Fall ist es leicht zu sehen, dass \(\alpha\) das Supremum von \(A\) ist, dieses ist eindeutig und irrational, damit wäre man fertig. Daraus lernt man aber nicht viel, deshalb mach ichs per Hand und zeige, dass ein Supremum von \(A\) nicht rational sein kann.
Kurze Wiederholung der Definition von Suprema: Eine Zahl \(x\) heißt Supremum einer Menge \(M\), wenn folgende zwei Eigenschaften gelten
1. \(x\) ist obere Schranke von \(M\): Für alle \(m\in M\) gilt \(m\leq x\).
2. Es existiert keine kleinere obere Schranke: Für alle \(y<x\) existiert ein \(m\in M\), sodass \(y < m\).
Zum Beweis, dass eine rationale Zahl kein Supremum von \(A\) sein kann:
Fall 1: \(x < \alpha\), dann gilt \(x\in A\). Dann existiert eine rationale Zahl \(q\) mit \(x<q<\alpha\) [Falls dieser Schritt nicht klar ist, hier ausführlich: Wähle \(q=x+\frac{1}{n}\), wobei \(\frac{1}{n}<|x-\alpha|\), die Existenz solch eines \(n\) ist quasi genau das archimedische Axiom]. Dann gilt aber \(x<q\) und \(q\in A\), also ist \(x\) keine obere Schranke, was Bedingung 1 verletzt.
Fall 2: \(x > \alpha\). Wähle analog zu oben ein \(q\in \mathbb{Q}\) mit \(\alpha<q<x\). Da \(\alpha < q\) gilt, gilt insbesondere \(a<q\) für alle \(a\in A\). Also existiert eine Zahl, die kleiner als \(x\) ist und obere Schranke von \(A\) ist, was Bedingung 2 verletzt.
