Aufgabe:
Seien X1, X2, . . . unabhängige reelle Zufallsvariablen und identisch verteilt,
d.h. die Verteilungsfunktion F von Xn hängt nicht von n ∈ N ab. Ferner sei
K eine von (Xn)n∈N unabhängige Zufallsvariable, die Poisson-verteilt sei mit
Parameter α ∈ (0, ∞), kurz K= Pn(α), d.h. P(K = k) = (e^−α)α^k/k! fur alle k ∈ N0. Betrachte die (numerischen) Zufallsvariablen
S := sup{Xj| 1 ≤ j ≤ K} und I := inf{Xj| 1 ≤ j ≤ K}
mit den (ublichen) Konventionen sup ∅ := −∞ und inf ∅ := ∞.
a) Zeige: Fur alle x, y ∈ R gilt P(S ≤ x) = e^(−α(1−F(x))) und P(I ≤ y) = 1 ^(− e−αF(y))
Welcher Wert fur P(S ≤ x) ergibt sich fur x → −∞ und welcher Wert
fur P(I ≤ y) ergibt sich fur y → ∞?
Problem/Ansatz:
Das eine muss mit Infimum und das andere supremum und ich verstehe den zusammenhang von diesem p =k und infimum und supremum nicht und wie man das dann beweisen soll
