Antwort mit KI erzeugt
a) Zeigen Sie, dass die Teilt-Relation auf \( \mathbb{Z} \) eine Präordnung ist, aber keine Halbordnung!
Eine Relation \( \mid \) auf einer Menge \( M \) ist eine Präordnung, wenn sie reflexiv und transitiv ist. Sie ist eine Halbordnung, wenn sie zusätzlich antisymmetrisch ist.
Reflexivität:
Eine Relation \( R \) auf einer Menge \( M \) ist reflexiv, wenn \( a \mid a \) für alle \( a \in M \).
Für unsere Relation auf \( \mathbb{Z} \),
\( a \mid a \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb{Z} : a \cdot x = a. \)
Hier gilt, dass \( x = 1 \) immer eine Lösung ist, da \( a \cdot 1 = a \). Daher ist die Teilt-Relation reflexiv.
Transitivität:
Eine Relation \( R \) auf einer Menge \( M \) ist transitiv, wenn \( a \mid b \) und \( b \mid c \) impliziert, dass \( a \mid c \).
Für unsere Relation auf \( \mathbb{Z} \),
\( a \mid b \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb{Z} : a \cdot x = b \quad \text{und} \quad b \mid c \Leftrightarrow \exists y \in \mathbb{Z} : b \cdot y = c. \)
Wenn \( a \mid b \) und \( b \mid c \), dann gibt es \( x \) und \( y \) in \( \mathbb{Z} \) so dass:
\( a \cdot x = b \quad \text{und} \quad b \cdot y = c. \)
Durch Einsetzen ergibt sich:
\( a \cdot x \cdot y = c. \)
Da \( x \cdot y \in \mathbb{Z} \), bedeutet dies, dass \( a \mid c \). Daher ist die Teilt-Relation transitiv.
Antisymmetrie:
Eine Relation \( R \) auf einer Menge \( M \) ist antisymmetrisch, wenn \( a \mid b \) und \( b \mid a \) impliziert, dass \( a = b \).
Für unsere Relation auf \( \mathbb{Z} \),
\( a \mid b \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb{Z} : a \cdot x = b \quad \text{und} \quad b \mid a \Leftrightarrow \exists y \in \mathbb{Z} : b \cdot y = a. \)
Wenn \( a \mid b \) und \( b \mid a \), dann gibt es \( x \) und \( y \) in \( \mathbb{Z} \) so dass:
\( a \cdot x = b \quad \text{und} \quad b \cdot y = a. \)
Dann erhalten wir:
\( a \cdot x \cdot y = a. \)
Falls \( a \neq 0 \), ergibt sich nach Division durch \( a \):
\( x \cdot y = 1. \)
Da \( x \) und \( y \) ganze Zahlen sind, müssen beide entweder 1 oder -1 sein. Dies zeigt, dass wenn \( a \mid b \) und \( b \mid a \), dann \( b = a \) oder \( b = -a \). Dies verletzt die Antisymmetrie für negative Zahlen. Daher ist die Teilt-Relation auf \( \mathbb{Z} \) keine Halbordnung.
Zusammenfassung:
Die Teilt-Relation auf \( \mathbb{Z} \) ist reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch. Deshalb ist es eine Präordnung, aber keine Halbordnung.
b) Zeigen Sie, dass die Teilt-Relation auf \( \mathbb{N} \) eine Halbordnung ist!
Reflexivität:
Auf \( \mathbb{N} \) gilt dieselbe Argumentation wie auf \( \mathbb{Z} \). Für jedes \( a \in \mathbb{N} \) gilt \( a \mid a \), da \( a \cdot 1 = a \). Somit ist die Teilt-Relation reflexiv.
Transitivität:
Die Argumentation für die Transitivität bleibt dieselbe wie oben beschrieben. Wenn \( a \mid b \) und \( b \mid c \), dann gilt \( a \cdot x = b \) und \( b \cdot y = c \). Daher gilt \( a \cdot (x \cdot y) = c \), und da \( x \cdot y \in \mathbb{N} \), ist die Teilt-Relation transitiv.
Antisymmetrie:
Für \( a, b \in \mathbb{N} \), wenn \( a \mid b \) und \( b \mid a \), dann gibt es \( x, y \in \mathbb{N} \) so dass:
\( a \cdot x = b \quad \text{und} \quad b \cdot y = a. \)
Dann haben wir:
\( a \cdot x \cdot y = a. \)
Da \( a \in \mathbb{N} \) und \( a \neq 0 \), ergibt sich:
\( x \cdot y = 1. \)
Da \( x, y \in \mathbb{N} \) und die einzige Lösung für \( x \cdot y = 1 \) in \( \mathbb{N} \) \( x = 1 \) und \( y = 1 \) ist, folgt, dass \( a = b \). Daher ist die Teilt-Relation auf \( \mathbb{N} \) antisymmetrisch.
Zusammenfassung:
Da die Teilt-Relation auf \( \mathbb{N} \) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist, ist sie eine Halbordnung.
