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Titel der Frage: Geben Sie jeweils für heterogene und homogene Relationen an.
Aufgabe: Geben Sie jeweils ein eigenes Beispiel für heterogene und homogene Relationen an.
a) reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv
Heterogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times Y \) mit \( X = Y \)
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Beispiel: Sei \( X = \{1, 2, 3\} \) und \( R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\} \).
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Reflexiv: Für jedes \( a \in X \), \( (a, a) \in R \) — gilt für 1, 2 und 3.
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Symmetrisch: Wenn \( (a, b) \in R \), dann \( (b, a) \in R \) — gilt für (1,2) und (2,1).
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Nicht transitiv: \( (1, 2) \in R \) und \( (2, 3) \in R \) aber \( (1, 3) \notin R \).
Homogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times X \)
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Beispiel: Sei \( X = \{a, b\} \) und \( R = \{(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)\} \).
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Reflexiv: Für jedes \( a \in X \), \( (a, a) \in R \) — gilt für a und b.
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Symmetrisch: Wenn \( (a, b) \in R \), dann \( (b, a) \in R \) — gilt für (a, b) und (b, a).
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Nicht transitiv: \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), aber es gibt keinen weiteren Elementen um zu prüfen.
b) symmetrisch, transitiv aber nicht reflexiv
Heterogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times Y \)
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Beispiel: Sei \( X = \{1, 2\}, Y = \{a, b\} \) und \( R = \{(1, a), (a, 1), (2, b), (b, 2), (a, b), (b, a)\} \).
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Symmetrisch: Alle Paare haben ihr Gegenpaar.
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Transitiv: Wenn \( (1, a) \in R \) und \( (a, b) \in R \), dann \( (1, b) \in R \).
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Nicht reflexiv: Es existieren keine Paare wie \( (1, 1) \) oder \( (a, a) \).
Homogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times X \)
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Beispiel: Sei \( X = \{a, b\} \) und \( R = \{(a, b), (b, a)\} \).
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Symmetrisch: Alle Paare haben ihr Gegenpaar.
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Transitiv: Da \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), ergibt sich keine neue Paarung.
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Nicht reflexiv: Es gibt keine Paare wie \( (a, a)\) oder \( (b, a)\).
c) reflexiv, transitiv aber nicht symmetrisch
Heterogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times Y \) mit \( X \neq Y \)
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Beispiel: Sei \( X = \{1, 2\}, Y = \{a, b\} \) und \( R = \{(1, 1), (2, 2), (1, b), (b, b)\} \).
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Reflexiv: \( (1, 1) \), \( (2, 2) \) und \( (b, b) \) sind in \( R \).
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Transitiv: Wenn \( (1, b) \in R \) und \( (b, b) \in R \), dann \( (1, b) \) in \( R \).
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Nicht symmetrisch: \( (1, b) \in R \), aber \( (b, 1) \notin R \).
Homogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times X \)
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Beispiel: Sei \( X = \{a, b, c\} \) und \( R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)\} \).
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Reflexiv: \( (a, a) \), \( (b, b) \) und \( (c, c) \) enthalten.
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Transitiv: \( (a, b) \in R \) und \( (b, c) \in R \), bedeutet \( (a, c) \in R \) fehlt.
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Nicht symmetrisch: \( (a, b) \in R \), aber \( (b, a) \notin R \).
d) weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv
Heterogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times Y \) mit \( X \neq Y \)
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Beispiel: Sei \( X = \{1, 2, 3\}, Y = \{a, b, c\} \) und \( R = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \).
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Nicht reflexiv: Keine der Formen \( (x, x) \in R \).
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Nicht symmetrisch: \( (1, a) \in R \), aber \( (a, 1) \notin R \).
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Nicht transitiv: Kein Paar folgt der Transitivität.
Homogene Relation:
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Relation: \( R \subseteq X \times X \)
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Beispiel: Sei \( X = \{a, b, c\} \) und \( R = \{(a, b), (b, c), (c, a)\} \).
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Nicht reflexiv: Keine der Formen \( (x, x) \in R \).
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Nicht symmetrisch: \( (a, b) \in R \), aber \( (b, a) \notin R \).
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Nicht transitiv: \( (a, b) \in R \) und \( (b, c) \in R \), aber \( (a, c) \notin R \).
