Beweis von Relationen (transitiv,symmetrisch..)

Question

Aufgabe:

R ist eine Teilmenge von MxM eine Relation auf M.

R ist transitiv genau dann, wenn R*R Teilmenge von R (a)

R ist irreflexiv genau dann R^0 und R = leere Menge (b)

R ist symmetrisch dann, wenn R = R^-1   (c)

Problem/Ansatz:

Bei den Beweisen bzw. zeigen der Gültigkeit tue ich mich schwer wäre nett wenn jemand mir helfen könnte.

Answer 1

R ist transitiv genau dann, wenn R*R Teilmenge von R.

R  transitiv.

==> Wenn  (a,b) ∈ R und   (b,c) ∈ R, dann auch   (a,c) ∈ R.

Betrachte nun ein Element (x,y) aus R*R , die sehen alle so aus:

Es gibt ein z ∈ M mit (x,z) ∈ R und ein (z,y) ∈ R

und da R transitiv ist, ist also (x,y) ∈ R.

Somit ist jedes Element von R*R auch in R, also R*R ⊆ R.

umgekehrt: Sei R*R ⊆ R. und seien (x,z) ∈ R und (z,y) ∈ R

dann ist (x,y ) in R*R , also wegen   R*R ⊆ R auch (x,y) ∈ R,

also R transitiv.

b) Was ist R⁰ ?

c)  R^(-1) = { (x;y) | (y;x) ∈ R }

Und symmetrisch bedeutet doch (x;y)  ∈ R ==>   (y;x) ∈ R

Sei also R symmetrisch und angenommen R^(-1) ≠ R

Dann gibt es ein (x;y) mit

entweder  (x;y) ∈ R und (x;y) ∉ R^(-1)

oder     (x;y) ∉ R und (x;y) ∈ R^(-1).

Im ersten Fall gilt wegen der Symmetrie (y;x)∈ R

also (x;y)  ∉ R^(-1) Widerspruch !

Im 2. Fall entsprechend.

Comments

R^0 bedeutet := {(x,x) | x ∈ M} (Gleichheitsrelation) (identität)

Könntest du das mit den Informationen lösen?

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irreflexiv heißt doch: Es gibt kein Paar der Form (x;x) in der

Relation. Und in R^0 sind alle Paare der Form (x;x).

Also ist eine Rel. irreflexiv genau dann, wenn der

Durchschnitt von R und R^0 leer ist, also

R ∩ R⁰ = ∅.