Aloha :)
Es sei \(R\) der Außenradius der Kugel und \(r\) der Innenradius der Kugel. Wir tun so als wären sowohl die äußere als auch die innere Kugel komplett aus Glas gegossen. Wenn wir dann vom Volumen der äußeren Kugel das Volumen der inneren Kugel subtrahieren, erhalten wir das Volumen, das tatsächlich in der Hülle der Hohlkugel enthalten ist:$$\Delta V=V_{außen}-V_{innen}=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-r^3\right)$$Wir wissen, dass die Wanddicke \(5\,mm\) beträgt, d.h. \(R-r=5\) oder \(r=R-5\). Das setzen wir oben ein:
$$\Delta V=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-(R-5)^3\right)=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-(R^3-15R^2+75R-125)\right)$$$$\phantom{Delta V}=\frac{4}{3}\pi\left(15R^2-75R+125\right)=\frac{60}{3}\pi\left(R^2-5R+\frac{25}{3}\right)$$Wir wissen, dass \(\Delta V=839\,cm^3=839\,000\,mm^3\) beträgt (Beachte, dass wir bisher die Radien in mm gemessen haben). Daher gilt:
$$\frac{60}{3}\pi\left(R^2-5R+\frac{25}{3}\right)=839\,000$$$$R^2-5R+\frac{25}{3}=839\,000\cdot\frac{3}{60\pi}\approx13\,353,1$$$$R^2-5R-13\,344,8=0$$Die pq-Formel liefert:$$R=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{25}{4}+13\,344,8}\approx118,05\,mm=11,805\,cm$$Die negative Lösung scheidet aus, weil der Radius positiv sein muss.
