Komplexe Gleichung auflösen...?

Question

Aufgabe:

x⁴=(1-i)

x³=(-2-3i)

x⁴= -i

Problem/Ansatz:

Aufgaben mit x⁵=1 oder -1 kann ich problemlos lösen mit der Formel von Moivre etc. Und quadratische Gleichungen kann ich auch lösen. Aber bei sowas habe ich total Schwierigkeiten. Kann mir jemand davon die Lösung (bitte mit Lösungsweg) zeigen, damit ich das nachvollziehen kann? Wäre so dankbar.

Answer 1

a)

Dürft ihr dazu in die Exponentialdarstellung umwandeln? Dann ist das recht einfach.

x⁴ = 1 - i = √2·EXP((- pi/4 + k·2·pi)·i)

x = 2^(1/8)·EXP((- pi/16 + k/2·pi)·i)

Answer 2

1-i hat den Betrag √2 und das Argument -π/4.

Du suchst nun die komplexen Zahlen, für die die vierte Potenz des Betrags √2 ergibt und das vierfache Argument -π/4 entspricht.

Answer 3

Hallo,

2 .Aufgabe )

1. |z|=√ (4+9) = √13

2. tan(φ)= -3/-2= 3/2 -> φ ≈ 236.31° (3.Quadrant)

n=3

allgemein :

z_k = |z|^(1/n)   *e^( i(φ +2kπ))/n

z0= (√13)^(1/3)  e^(78.77°)

z₀ ≈ (√13)^(1/3) *(cos(78.77°) +i sin(78.77°)

z₀ ≈ 0.2986 + i 1.5040

insgesamt:

$z0 \approx 1.1532-1.0106 i$

$z1 \approx-1.4519-0.4934 i$
$z2 \approx 0.2986+1.5040 i$

Answer 4

$$x^4=-i=e^{\frac{3\pi}{2}i}$$

$$\frac{3\pi}{2}:4=\frac{3\pi}{8}$$

$$x_1=e^{\frac{3\pi}{8}i}$$

Jetzt jeweils $90°$ bzw. $\dfrac{\pi}{2}$ addieren:

$$x_2=e^{\frac{7\pi}{8}i}$$

$$x_3=e^{\frac{11\pi}{8}i}$$

$$x_4=e^{\frac{15\pi}{8}i}$$