Parameterdarstellung ermitteln

Question

Es sei h1 die Gerade, die g: x =(1|-2|0)+t(1|1|1) im rechten Winkel schneidet und außerdem durch den Punkt Q(1, 0, 5). Ermitteln Sie eine Parameterdarstellung von h1.

Answer 1

Als Stützvektor kannst du \(\vec{OQ}\) verwenden.

Außerdem muss für den Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \) die Gleichung

(1) \( \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = 0 \)

gelten. Zusätzlich muss h₁ die Gerade g schneiden, es muss also

(2) \( \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix}  + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

für geeignete \(s\) und \(t\) gelten.

Löse das Gleichungssystem (1), (2).

Answer 2

([1, -2, 0] + r·[1, 1, 1] - [1, 0, 5])·[1, 1, 1] = 0 → 7/3

[1, -2, 0] + 7/3·[1, 1, 1] - [1, 0, 5] = [7/3, 1/3, -8/3] = 1/3·[7, 1, -8]

h1: X = [1, 0, 5] + r·[7, 1, -8]

Answer 3

$$ \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} $$

Verbinde die gegebenen Punkte und zerlege den Verbindungsvektor in einen Vektor parallel zu g und einen Vektor \(\vec v\)  orthogonal zur Geraden g.

$$ \overrightarrow{AQ} = \begin{pmatrix} 0\\2\\5 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 1\\1 \\1 \end{pmatrix} + \vec v ~~~~~~~\left| \cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\1 \end{pmatrix} \right. $$

$$ 2+5=3r \Rightarrow r=\frac{7}{3}$$

$$ \vec v = \begin{pmatrix} 0\\2\\5 \end{pmatrix} - \frac{7}{3} \begin{pmatrix} 1\\1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/3\\-1/3 \\8/3 \end{pmatrix}$$

$$ h_1:~~~\vec x = \begin{pmatrix} 1\\0 \\5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -7/3\\-1/3 \\8/3 \end{pmatrix} $$

Du kannst den Richtungsvektor noch mit 3 multiplizieren:

$$ h_1:~~~\vec x = \begin{pmatrix} 1\\0 \\5 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -7\\-1\\8 \end{pmatrix} $$